Integrale generalizzato help!

[flavio20002]

Ciao a tutti... mi aiutate a risolvere questo integrale?

$\int_0^1(x^x+log(x^{x^x})) dx $

mi hanno detto di calcolare per prima cosa la derivata di $x^x$...e mi viene $e^{xlogx}+log x e^{xlogx}$
Come posso procedere?

Grazie mille!
Ciao

[misanino]

Ricordati che $log(x^k)=klog(x)$
e quindi nel tuo caso $log(x^{x^x})=x^x(log(x))$
Ricorda poi che $x^x=e^log(x^x)=e^(xlog(x))$.
Tenendo conto di questo riscrivi l'integranda e ti accorgerai che diventa un integrale immediato (cioè l'integranda è una derivata di qualcosa)

[flavio20002]

ottimo grazie mille!!! quindi la soluzione è 1 giusto?

[misanino]

"flavio20002":ottimo grazie mille!!! quindi la soluzione è 1 giusto?

Io direi di no.
Scrivi l'integrale che ti è uscito e il risultato dell'integrale generalizzato (cioè senza sostituire 0 e 1), così controllo il tuo procedimento

[flavio20002]

Questo è l'integrale che mi viene:

$\int_0^1 e^(xlogx) + e^(xlogx)*logx dx $

[misanino]

"flavio20002":Questo è l'integrale che mi viene:

$\int_0^1 e^(xlogx) + e^(xlogx)*logx dx $

Perfetto!
Ora raccogli $e^(xlogx)$ e ti accorgi che ciò che sta sotto l'integrale è la derivata di che cosa?

[flavio20002]

Hmm, non la riconosco....

[Paolo902]

Prova un po' a derivare $y=x^x$...

[misanino]

"flavio20002":Hmm, non la riconosco....

Fai la derivata di $e^(xlogx)$.
Cosa esce?

[Paolo902]

Faccio solo notare (per far capire a Flavio20002 che stiamo dicendo la stessa cosa) che $x^x=e^(xlogx)$ per ogni $x>0$

Invito flavio20002 a capire perchè...

[flavio20002]

Ok perfetto...tutto chiaro adesso..quindi resta solo da fare 1- limite per x->0 $e^{x log(x)}$
ed il risultato è uguale a zero....Grazie mille per l'aiuto!!!