Integrale generalizzato dipendente da un parametro (2)

[fafnir39]

Si dica per quali valori di $ alpha $ converge $ int_(0)^(1) x*log( \frac{1+x^alpha}{1+x}) dx $ .
Ho risolto i casi particolari $ alpha = 0 $ e $ alpha = 1 $ (nei quali converge), ma non so come comportarmi negli altri casi $ alpha > 1 , alpha < 0 $ ( ho tentato di utilizzare il criterio del confronto in 0 ma senza successo).
Potreste darmi qualche suggerimento su come procedere?
Grazie.

[stormy1]

posto che l'integrando può essere scritto nella forma $x[ln(1+x^alpha)-ln(1+x)]$ e che $ lim_(x -> 0)xln(1+x)=0 $,
resta da esaminare $ lim_(x -> 0)xln(1+x^alpha)=0 $
esso vale $0$ per ogni $alpha$(per $alpha < 0$ l'ho calcolato con De L'Hopital)

quindi ,l'integrale converge per ogni $alpha$

[fafnir39]

Ma il fatto che la funzione integranda tenda a zero è una condizione necessaria e non sufficiente per la convergenza; quindi il tendere del limite a 0 per ogni valore di $ alpha $ come ti consente di concludere che l'integrale converge per ogni valore di $ alpha $ ?

[stormy1]

ripassino di teoria:
è necessaria e non sufficiente quando l'estremo d'integrazione è l'infinito
quando l''estremo di integrazione è un numero,è ottima e abbondante
per avere la convergenza ,in questo caso,è addirittura sufficiente che sia un infinito di ordine minore di 1

esempio: $ int_(0)^(1) 1/sqrtx dx $ converge

[fafnir39]

Grazie.