Integrale generalizzato con parametro
Buonasera.
Stavo provando a risolvere il seguente integrale generalizzato con parametro:
$\int_0^(+\infty) log(x)/|x^2+2x-3|^\alpha dx$
In particolare, dopo aver stabilito i parametri per i quali si ha la convergenza per $x \to +\infty$ e per $x \to 0^+$ rispettivamente $\alpha > 1/2$ e $AA\alpha in RR$, mi risulta complicato capire come affrontare il caso $x to 1$.
Consultando la soluzione, viene applicato il Criterio del Confronto Asintotico in 1, da cui:
$(x-1)/(|x-1|^\alpha * 4^\alpha) $ $\~$ $ (k*sign(x-1))/|x-1|^(alpha-1)$
Non riesco a capire da dove provenga il $4^alpha$ che compare al denominatore, e il $sign(x-1)$ al numeratore della successiva equivalenza asintotica.
Io avrei direttamente scritto $(x-1)/|x-1|^\alpha$ da cui avrei tratto le medesime conclusione, cioè la funzione è integrabile se $\alpha < 2$.
Stavo provando a risolvere il seguente integrale generalizzato con parametro:
$\int_0^(+\infty) log(x)/|x^2+2x-3|^\alpha dx$
In particolare, dopo aver stabilito i parametri per i quali si ha la convergenza per $x \to +\infty$ e per $x \to 0^+$ rispettivamente $\alpha > 1/2$ e $AA\alpha in RR$, mi risulta complicato capire come affrontare il caso $x to 1$.
Consultando la soluzione, viene applicato il Criterio del Confronto Asintotico in 1, da cui:
$(x-1)/(|x-1|^\alpha * 4^\alpha) $ $\~$ $ (k*sign(x-1))/|x-1|^(alpha-1)$
Non riesco a capire da dove provenga il $4^alpha$ che compare al denominatore, e il $sign(x-1)$ al numeratore della successiva equivalenza asintotica.
Io avrei direttamente scritto $(x-1)/|x-1|^\alpha$ da cui avrei tratto le medesime conclusione, cioè la funzione è integrabile se $\alpha < 2$.
Risposte
Scomponi il denominatore. 
Ciao Dany 30,
Narra la leggenda dell'esistenza di un trinomio caratteristico (o notevole o particolare o speciale, insomma è chiamato in diversi modi a seconda dei testi, ma il concetto è quello...):
$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + sx + p $
che letto da destra a sinistra porge
$ x^2 + sx + p = (x + a)(x + b) $
ove naturalmente $s = a + b $ e $p = ab $
Quindi nel caso in esame basta trovare due numeri tali che il loro prodotto sia $- 3$ e la loro somma sia $2$, che sono abbastanza facili da trovare ad occhio, ma se proprio non lo vedi basta risolvere il semplice sistema seguente:
${(a + b = 2),(ab = - 3):} $
Più in generale è noto che per qualsiasi trinomio $ax^2 + bx + c $ con $a \ne 0 $ (perché se fosse $a = 0$ non sarebbe più un trinomio, ma un binomio) si ha:
$ ax^2 + bx + c = a[x^2 + b/a x + c/a] = a[x^2 - (-b/a) x + c/a] = a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2] = $
$ = a(x - x_1)(x - x_2) $
ove $x_1 $ e $x_2 $ sono le soluzioni dell'equazione $ax^2 + bx + c = 0 $, ovvero $x_{1,2} = (- b \pm \sqrt\Delta)/(2a) $ con $\Delta := b^2 - 4ac \ge 0 $ (per $\Delta < 0 $ vale la stessa scomposizione, ma con $x_{1,2} = (- b \pm i \sqrt{- \Delta})/(2a) $)
[tex]\frac{x-1}{|x-1|^\alpha \cdot 4^\alpha} \sim \frac{k \cdot \text{sign}(x-1)}{|x-1|^{\alpha-1}}[/tex]
Beh $k := 1/4^\alpha $, poi basta ricordare che $ \text{sign}(x-1) = (x - 1)/|x - 1| $ ed osservare che il segno di $x - 1$ è positivo se $x \to 1^+ $, negativo se $x \to 1^- $
"Dany 30":
Non riesco a capire da dove provenga il $4^{\alpha}$ che compare al denominatore
Narra la leggenda dell'esistenza di un trinomio caratteristico (o notevole o particolare o speciale, insomma è chiamato in diversi modi a seconda dei testi, ma il concetto è quello...):
$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + sx + p $
che letto da destra a sinistra porge
$ x^2 + sx + p = (x + a)(x + b) $
ove naturalmente $s = a + b $ e $p = ab $
Quindi nel caso in esame basta trovare due numeri tali che il loro prodotto sia $- 3$ e la loro somma sia $2$, che sono abbastanza facili da trovare ad occhio, ma se proprio non lo vedi basta risolvere il semplice sistema seguente:
${(a + b = 2),(ab = - 3):} $
Più in generale è noto che per qualsiasi trinomio $ax^2 + bx + c $ con $a \ne 0 $ (perché se fosse $a = 0$ non sarebbe più un trinomio, ma un binomio) si ha:
$ ax^2 + bx + c = a[x^2 + b/a x + c/a] = a[x^2 - (-b/a) x + c/a] = a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2] = $
$ = a(x - x_1)(x - x_2) $
ove $x_1 $ e $x_2 $ sono le soluzioni dell'equazione $ax^2 + bx + c = 0 $, ovvero $x_{1,2} = (- b \pm \sqrt\Delta)/(2a) $ con $\Delta := b^2 - 4ac \ge 0 $ (per $\Delta < 0 $ vale la stessa scomposizione, ma con $x_{1,2} = (- b \pm i \sqrt{- \Delta})/(2a) $)
"Dany 30":
e il $ sign(x−1) $ al numeratore della successiva equivalenza asintotica
[tex]\frac{x-1}{|x-1|^\alpha \cdot 4^\alpha} \sim \frac{k \cdot \text{sign}(x-1)}{|x-1|^{\alpha-1}}[/tex]
Beh $k := 1/4^\alpha $, poi basta ricordare che $ \text{sign}(x-1) = (x - 1)/|x - 1| $ ed osservare che il segno di $x - 1$ è positivo se $x \to 1^+ $, negativo se $x \to 1^- $
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