Integrale generalizzato con parametro

[annachiara.cassoli]

Buonasera a tutti,
Ho questo integrale da risolvere al variare di alfa.
La soluzione è la numero 1, cioè $ 1/3 Qualcuno saprebbe spiegarmi il procedimento per favore?
Vi ringrazio in anticipo

[gugo82]

Idee tue?

[annachiara.cassoli]

Io ho calcolato il limite per $ xrarr 0 $ dal quale è risultato $ alpha <1 $, devo trovare l'altro valore di alfa ma non so proprio come muovermi

[gugo82]

Visto che l’integrando è sufficientemente continuo in $]0,+oo[$, l’unica cosa da fare è valutare cosa accade in $+oo$, no?

[pilloeffe]

Ciao enni,

"enni":Ho questo integrale da risolvere al variare di alfa

In realtà $\alpha $ non c'è, il parametro è $a$...
Poi capisco che sono i tuoi primi messaggi, ma scrivere l'esercizio proposto come è specificato qui è veramente semplice... Proprio in considerazione del fatto che sono i tuoi primi messaggi per stavolta te lo scrivo io, così magari puoi copiarlo nell'OP ed eliminare l'immagine:

1. Per quali valori di $a > 0$ converge l'integrale generalizzato [tex]\int_0^{+\infty} (x^{-a} - (1 + x^{2a})^{-1/2}) dx[/tex]?
[1] [tex]1/3 < a < 1[/tex]
[2] nessun valore di $a$
[3] $a > 1 $
[4] [tex]1/2 < a < 1[/tex]

Infine, per fare quanto ti ha già suggerito gugo82 nel suo ultimo post, riscriverei l'integrale proposto in una forma un po' più "umana"...

[annachiara.cassoli]

"gugo82":Visto che l’integrando è sufficientemente continuo in $]0,+oo[$, l’unica cosa da fare è valutare cosa accade in $+oo$, no?

Ok, ho provato a risolvere il \( \lim _{x\rightarrow \infty} \) dell'integrale ma torno sempre punto e a capo. Suggerimenti?

[pilloeffe]

"enni":Suggerimenti?

In realtà un suggerimento ti è già stato dato, ma lo hai ignorato:

"pilloeffe":riscriverei l'integrale proposto in una forma un po' più "umana"

$ x^{-a} - (1 + x^{2a})^{-1/2} = \frac{sqrt{1 + x^{2a}} - x^a}{x^a sqrt{1 + x^{2a}}} = \frac{1}{x^a sqrt{1 + x^{2a}}(sqrt{1 + x^{2a}} + x^a)} = $
$ = \frac{1}{x^{3a} sqrt{1 + 1/x^{2a}}(sqrt{1 + 1/x^{2a}} + 1)} $