Integrale generalizzato con parametro
Salve a tutti,
Ho dei problemi a capire quando l'integrale converge al variare di $a$
$int_1^oo(log(x^3)/(sqrt(x)(1+x^(2a))))$
Potete aiutarmi?
Ho dei problemi a capire quando l'integrale converge al variare di $a$
$int_1^oo(log(x^3)/(sqrt(x)(1+x^(2a))))$
Potete aiutarmi?
Risposte
Idee tue? Posta qualche tuo tentativo, giusto o sbagliato che sia.
Consiglio per il parametro: portatelo fino alla fine, non diversificare i casi all'inizio, lo fai dopo alla fine!
Consiglio per il parametro: portatelo fino alla fine, non diversificare i casi all'inizio, lo fai dopo alla fine!
$int_1^oo(log(x^3)/(sqrt(x)(1+x^(2a)))) = int_1^oo(3*log(x)/(x^(1/2)+x^(2a+1/2))))$ = $\lim_{c \to \infty}int_1^c(3*log(x)/(x^(1/2)+x^(2a+1/2)))$
L'addizione al denominatore mi mette un po' in difficoltà a questo punto.. non riesco a ricondurre l'integrale generalizzato ad una forma nota..
EDIT: Errore di battitura corretto
L'addizione al denominatore mi mette un po' in difficoltà a questo punto.. non riesco a ricondurre l'integrale generalizzato ad una forma nota..
EDIT: Errore di battitura corretto
ecco ed è qui che devi diversificare i casi.
Per $a=0$ diventa $f(x)=(\ln x)/(\sqrt{x})$
$\int_(1)^(+\infty) f(x)$ e per $x\to +\infty$ $f(x)=(1)/(x^(1/2)\cdot \ln^(-1)x)$ e questo in $U(+\infty)$ diverge!
Perchè diverge?.. ho fatto riferimento a questo integrale campione $\int_(2)^(+\infty) (1)/(x^p \cdot \ln^q x)$
e questo CONVERGE solamente quando $p>1,\forall q \in RR$ oppure $p=1, q>1$ in $U(+\infty)$
ora gli altri casi
io farei $2a+1/2 >1/2 \to a>0$
ti riporti al caso (sempre in $U(+\infty)$) $f(x)= (\ln x)/(x^(2a+1/2))$ e come prima si ha
per $x\to +\infty$ $f(x)= (1)/(x^(2a+1/2)\cdot \ln^(-1)x)$ e questo CONVERGE solamente quando $2a+1/2>1$
Dovrei aver fatto giusto.. spero!
lascio a te da provare il caso quando $x\to 1$.
Per $a=0$ diventa $f(x)=(\ln x)/(\sqrt{x})$
$\int_(1)^(+\infty) f(x)$ e per $x\to +\infty$ $f(x)=(1)/(x^(1/2)\cdot \ln^(-1)x)$ e questo in $U(+\infty)$ diverge!
Perchè diverge?.. ho fatto riferimento a questo integrale campione $\int_(2)^(+\infty) (1)/(x^p \cdot \ln^q x)$
e questo CONVERGE solamente quando $p>1,\forall q \in RR$ oppure $p=1, q>1$ in $U(+\infty)$
ora gli altri casi
io farei $2a+1/2 >1/2 \to a>0$
ti riporti al caso (sempre in $U(+\infty)$) $f(x)= (\ln x)/(x^(2a+1/2))$ e come prima si ha
per $x\to +\infty$ $f(x)= (1)/(x^(2a+1/2)\cdot \ln^(-1)x)$ e questo CONVERGE solamente quando $2a+1/2>1$
Dovrei aver fatto giusto.. spero!
lascio a te da provare il caso quando $x\to 1$.
Nel caso $a<0$ abbiamo la solita situazione di quando $a=0$ e l'integrale diverge
Quindi l'integrale converge solamente quando $a>0$:
$x->+oo$ converge se $a>1/4$ come abbiamo detto
$x->1$ abbiamo:
$lim_(x->1)(log(x)/(x^(2a+1/2))) = lim_(x->1)(0/(1^(2a+1/2)))=0$ quindi converge per qualsiasi $a$
Mettendo a sistema:
$\{a>1/4, -oo1/4$ come risposta
Quindi se ho capito bene in pratica bisogna verificare gli estremi di integrazione dopo aver individuato i valori di $a$ per cui l'integrale converge
Grazie
Ciao
Quindi l'integrale converge solamente quando $a>0$:
$x->+oo$ converge se $a>1/4$ come abbiamo detto
$x->1$ abbiamo:
$lim_(x->1)(log(x)/(x^(2a+1/2))) = lim_(x->1)(0/(1^(2a+1/2)))=0$ quindi converge per qualsiasi $a$
Mettendo a sistema:
$\{a>1/4, -oo
Quindi se ho capito bene in pratica bisogna verificare gli estremi di integrazione dopo aver individuato i valori di $a$ per cui l'integrale converge
Grazie
Ciao
chiedi però a qualcuno in università oppure aspetta che qualcun'altro risponda.
Spero di aver fatto tutto esatto. Gli integrali impropri mi piacevano, ma Analisi 1, l'ho già passata!
Però un bell'esercizio!
p.s.
mi sa che devi mettere a sistema ${(a>0),(a>1/4):}$ e ottieni $a>1/4$
Spero di aver fatto tutto esatto. Gli integrali impropri mi piacevano, ma Analisi 1, l'ho già passata!
Però un bell'esercizio!
p.s.
mi sa che devi mettere a sistema ${(a>0),(a>1/4):}$ e ottieni $a>1/4$
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