Integrale generalizzato con frazione ed esponenziale
Salve ragazzi potreste consigliarmi/aiutarmi con questo integrale? Dovrei studiarne il carattere.
$int_(0)^(+oo) 1/(e^(x^2)-1) dx$ mi sono mosso così
Posto $f(x)=1/(e^(x^2)-1)$ noto che $f(x)$ è continua e positiva in $(0,+oo)$. Divido l'integrale in
$int_(0)^(1) 1/(e^(x^2)-1) dx + int_(1)^(+oo) 1/(e^(x^2)-1)dx$.
Per quanto riguarda il primo integrale, per $x->0$ ho che $1/(e^(x^2)-1) ~ 1/(x^2)$ da cui
$int_(0)^(1) 1/(x^2) dx$ è divergente dato che la potenza di $x$ è maggiore di 1. Quindi per il criterio del confronto asintotico anche $int_(0)^(1) 1/(e^(x^2)-1) dx$ diverge.
Sul secondo sono un po' indeciso. Posso concludere in qualche modo che l'integrale di partenza (tra 0 e +oo) non può fare altro che divergere positivamente? Dato che nell'intervallo di integrazione [1,+oo) la funzione non può assumere valori negativi, non credo possa in alcun modo divergere negativamente, quindi o diverge positivamente o converge, da cui l'integrale iniziale diverge?
Se volessi però studiarlo come dovrei comportarmi? Se uso le equivalenze asintotiche, concludo che $f(x)~ 1/(e^(x^2))$ per $x->+oo$. E poi?
Grazie mille!
$int_(0)^(+oo) 1/(e^(x^2)-1) dx$ mi sono mosso così
Posto $f(x)=1/(e^(x^2)-1)$ noto che $f(x)$ è continua e positiva in $(0,+oo)$. Divido l'integrale in
$int_(0)^(1) 1/(e^(x^2)-1) dx + int_(1)^(+oo) 1/(e^(x^2)-1)dx$.
Per quanto riguarda il primo integrale, per $x->0$ ho che $1/(e^(x^2)-1) ~ 1/(x^2)$ da cui
$int_(0)^(1) 1/(x^2) dx$ è divergente dato che la potenza di $x$ è maggiore di 1. Quindi per il criterio del confronto asintotico anche $int_(0)^(1) 1/(e^(x^2)-1) dx$ diverge.
Sul secondo sono un po' indeciso. Posso concludere in qualche modo che l'integrale di partenza (tra 0 e +oo) non può fare altro che divergere positivamente? Dato che nell'intervallo di integrazione [1,+oo) la funzione non può assumere valori negativi, non credo possa in alcun modo divergere negativamente, quindi o diverge positivamente o converge, da cui l'integrale iniziale diverge?
Se volessi però studiarlo come dovrei comportarmi? Se uso le equivalenze asintotiche, concludo che $f(x)~ 1/(e^(x^2))$ per $x->+oo$. E poi?
Grazie mille!
Risposte
Ciao paolo1712,
Sì. In effetti il secondo integrale converge, ma dato che il primo diverge è irrilevante che il secondo converga (come in effetti si verifica) o diverga...
"paolo1712":
Posso concludere in qualche modo che l'integrale di partenza (tra 0 e +oo) non può fare altro che divergere positivamente?
Sì. In effetti il secondo integrale converge, ma dato che il primo diverge è irrilevante che il secondo converga (come in effetti si verifica) o diverga...
@paolo1712: Chiaramente, una funzione integrabile e positiva ha integrale non negativo; perciò, non può né convergere a un numero negativo né divergere a $-\infty$.
Come hai correttamente osservato, $f$ si comporta come $\frac{1}{e^{x^2}}=e^{-x^2}$ per $x \to +\infty$. Quando $x \ge 1$, è $x \le x^2$ e quindi $-x^2 \le -x$. Per monotonia dell'esponenziale, si deduce $e^{-x^2} \le e^{-x}$ per ogni $x \ge 1$. Quindi:
$$\int_1^{+\infty} e^{-x^2}\text{d}x \le \int_1^{+\infty} e^{-x}\text{d}x=e^{-1}$$
Concludi che il secondo integrale converge. L'idea intuitiva che ti deve rimanere è che gli esponenziali in base strettamente maggiore di $1$ preservano la monotonia, e che le potenze intere crescono quando la base è maggiore strettamente di $1$.
Come hai correttamente osservato, $f$ si comporta come $\frac{1}{e^{x^2}}=e^{-x^2}$ per $x \to +\infty$. Quando $x \ge 1$, è $x \le x^2$ e quindi $-x^2 \le -x$. Per monotonia dell'esponenziale, si deduce $e^{-x^2} \le e^{-x}$ per ogni $x \ge 1$. Quindi:
$$\int_1^{+\infty} e^{-x^2}\text{d}x \le \int_1^{+\infty} e^{-x}\text{d}x=e^{-1}$$
Concludi che il secondo integrale converge. L'idea intuitiva che ti deve rimanere è che gli esponenziali in base strettamente maggiore di $1$ preservano la monotonia, e che le potenze intere crescono quando la base è maggiore strettamente di $1$.
Una stima migliore è la seguente:
$ \int_1^{+\infty} 1/e^{x^2}\text{d}x = \int_1^{+\infty} e^{-x^2}\text{d}x \le \int_0^{+\infty} e^{-x^2}\text{d}x = \sqrt{\pi}/2 $
Il calcolo esatto è possibile, ma coinvolge la funzione speciale errore complementare $erfc$:
$ \int_1^{+\infty} 1/e^{x^2}\text{d}x = \int_1^{+\infty} e^{-x^2}\text{d}x = \sqrt{\pi}/2 erfc(1) ~~ 0,139403 $
$ \int_1^{+\infty} 1/e^{x^2}\text{d}x = \int_1^{+\infty} e^{-x^2}\text{d}x \le \int_0^{+\infty} e^{-x^2}\text{d}x = \sqrt{\pi}/2 $
Il calcolo esatto è possibile, ma coinvolge la funzione speciale errore complementare $erfc$:
$ \int_1^{+\infty} 1/e^{x^2}\text{d}x = \int_1^{+\infty} e^{-x^2}\text{d}x = \sqrt{\pi}/2 erfc(1) ~~ 0,139403 $
Ho corretto il messaggio perché parlavo dell'integrale tra [1,+oo) e non tra (0,1] però mi avete inteso ugualmente.
Quindi @Mephlip durante la risoluzione di un integrale generalizzato se, come in questo caso, dovessi suddividere l'intervallo di integrazione, applicare il criterio del confronto asintotico, poi del confronto, e se l'integrale finale che ottengo è di facile risoluzione però non ha struttura simile ad integrali generalizzati noti, posso procedere allo studio dell'integrale definito o in alternativa del limite, per definirne il carattere? Parlo dei casi in cui ho funzioni R-integrabili.
@pilloeffe, avevo notato una somiglianza con l'integrale gaussiano però non credevo potessi confrontarlo. Il fine ultimo era lo studio del carattere quindi non mi serviva il valore esatto a cui converge però appunto non credevo si potessero confrontare due integrali e concludere sulla convergenza del secondo.
Come al solito, grazie ad entrambi!
Quindi @Mephlip durante la risoluzione di un integrale generalizzato se, come in questo caso, dovessi suddividere l'intervallo di integrazione, applicare il criterio del confronto asintotico, poi del confronto, e se l'integrale finale che ottengo è di facile risoluzione però non ha struttura simile ad integrali generalizzati noti, posso procedere allo studio dell'integrale definito o in alternativa del limite, per definirne il carattere? Parlo dei casi in cui ho funzioni R-integrabili.
@pilloeffe, avevo notato una somiglianza con l'integrale gaussiano però non credevo potessi confrontarlo. Il fine ultimo era lo studio del carattere quindi non mi serviva il valore esatto a cui converge però appunto non credevo si potessero confrontare due integrali e concludere sulla convergenza del secondo.
Come al solito, grazie ad entrambi!
@paolo1712: Prego! Sì, certamente. Come hai anche riportato tu, gli integrali impropri sono definiti come limiti di funzioni integrali (al netto dei vari casi) e il loro carattere è definito in base al valore di tali limiti. Quindi, come nel caso della disuguaglianza da me riportata, alla fine mi sono ricondotto ad un integrale improprio il cui carattere si stabilisce con la definizione. D'altronde, gli integrali notevoli sono la stessa cosa: si riesce a calcolarli esplicitamente o a stimarli, e poi si usano sistematicamente.
"pilloeffe":
Il calcolo esatto è possibile, ma coinvolge la funzione speciale errore complementare $erfc$:
$ \int_1^{+\infty} 1/e^{x^2}\text{d}x = \int_1^{+\infty} e^{-x^2}\text{d}x = \sqrt{\pi}/2 erfc(1) ~~ 0,139403 $
Leggere questo mi ha fatto sorridere
Pilloeffe tu sei decisamente affetto da "integralite acuta". Se vedi un integrale devi per forza calcolarlo esattamente anche se è inutile!
"dissonance":
Pilloeffe tu sei decisamente affetto da "integralite acuta". Se vedi un integrale devi per forza calcolarlo esattamente anche se è inutile!
E' vero!!! 
Non so perché, ma mi era sfuggito questo tuo commento...
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