Integrale generalizzato. Come funziona?
Di nuovo ciao a tutti. Ho provato a risolvere quest'esercizio: trovare per quali a l'integrale
$ int_(1)^(+oo) [(ln x^a) e^{ax} (x^2-1)^a]/[(x^2+1) 3^(x+1/2)] dx $
converge. Dal momento che al denominatore c'è un '+1' ho pensato che la funzione integranda fosse continua in [1, +oo[, e mi sono limitato a studiare la convergenza per x --> +oo. Ma sono stato corretto: mi è stato detto che in realtà la funzione è continua in ]1, +oo[ e che avrei dovuto studiare la convergenza anche in vicinanza di 1. Ora, io in tutti gli esercizi che avevo fatto in precedenza, di studio della convergenza di integrali, mi ero abituato che la a andasse studiata solamente alla fine, cioè dopo aver opportunamente semplificato le funzioni, sicché non mi era minimamente venuto in mente che avrei dovuto considerare che la a potesse essere negativa all'inizio... se è questo il motivo per cui in questo caso l'integrale andava studiato anche per x-->+1 (per motivi miei non ho fatto in tempo a chiedere).
Mi spieghereste qual'è il principio generale che c'è nello studio della convergenza di integrali di questo tipo? bisogna considerare tutti i casi per a sia all'inizio che alla fine? oppure il motivo per cui la funzione integranda in questo caso nonè continua in 1 è un altro?
Grazie mille a tutti.
$ int_(1)^(+oo) [(ln x^a) e^{ax} (x^2-1)^a]/[(x^2+1) 3^(x+1/2)] dx $
converge. Dal momento che al denominatore c'è un '+1' ho pensato che la funzione integranda fosse continua in [1, +oo[, e mi sono limitato a studiare la convergenza per x --> +oo. Ma sono stato corretto: mi è stato detto che in realtà la funzione è continua in ]1, +oo[ e che avrei dovuto studiare la convergenza anche in vicinanza di 1. Ora, io in tutti gli esercizi che avevo fatto in precedenza, di studio della convergenza di integrali, mi ero abituato che la a andasse studiata solamente alla fine, cioè dopo aver opportunamente semplificato le funzioni, sicché non mi era minimamente venuto in mente che avrei dovuto considerare che la a potesse essere negativa all'inizio... se è questo il motivo per cui in questo caso l'integrale andava studiato anche per x-->+1 (per motivi miei non ho fatto in tempo a chiedere).
Mi spieghereste qual'è il principio generale che c'è nello studio della convergenza di integrali di questo tipo? bisogna considerare tutti i casi per a sia all'inizio che alla fine? oppure il motivo per cui la funzione integranda in questo caso nonè continua in 1 è un altro?
Grazie mille a tutti.
Risposte
In generale, se non è specificato che $\alpha\in A$ dove $A$ è un insieme definito a priori, devi considerare $\alpha\in RR$ e pertanto, già in partenza, valutare cosa accade alla funzione a seconda che $\alpha$ venga scelto in modi differenti (come in questo caso).
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