Integrale generalizzato
Ciao, sono alle prese con un integrale generalizzato, cercando di stabilire se questo converga o meno. L'integrale è il seguente:
[tex]\int_0^{-\infty} \sqrt[3]{t}e^{-t}\,dt = -\int_{-\infty}^0 \sqrt[3]{t}e^{-t}\,dt[/tex]
Dato che la funzione integranda è continua su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] allora l'integrale converge in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], il problema comincia quando devo valutarlo in [tex]-\infty[/tex]:
la mia idea è quella di usare il Criterio del Confronto (dato che col confronto asintotico non andrei molto lontano…) ma non riesco a capire come usare questo criterio in un intervallo negativo, dato che ovunque è spiegato nel solo intervallo [tex][a, +\infty)[/tex]
come ne esco?
[tex]\int_0^{-\infty} \sqrt[3]{t}e^{-t}\,dt = -\int_{-\infty}^0 \sqrt[3]{t}e^{-t}\,dt[/tex]
Dato che la funzione integranda è continua su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] allora l'integrale converge in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], il problema comincia quando devo valutarlo in [tex]-\infty[/tex]:
la mia idea è quella di usare il Criterio del Confronto (dato che col confronto asintotico non andrei molto lontano…) ma non riesco a capire come usare questo criterio in un intervallo negativo, dato che ovunque è spiegato nel solo intervallo [tex][a, +\infty)[/tex]
come ne esco?
Risposte
Il criterio del confronto funziona allo stesso modo.
Scrivi un tuo tentativo!
Scrivi un tuo tentativo!
Non ho capito una cosa.
Che cosa vuoi dire? Tieni presente che, ad esempio, [tex]f(x): [1,+\infty) \ni x \mapsto \frac{1}{x} \in \mathbb{R}[/tex] è continua in \(\displaystyle [1,+\infty) \), ma non ivi integrabile (nemmeno in senso generalizzato, giacché l'integrale diverge).
"tano_91":
Dato che la funzione integranda è continua su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] allora l'integrale converge in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]
Che cosa vuoi dire? Tieni presente che, ad esempio, [tex]f(x): [1,+\infty) \ni x \mapsto \frac{1}{x} \in \mathbb{R}[/tex] è continua in \(\displaystyle [1,+\infty) \), ma non ivi integrabile (nemmeno in senso generalizzato, giacché l'integrale diverge).
Paolo90, la tua (giustissima) osservazione fa nascere un grosso problema:
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale# ... ilit.C3.A0
La condizione di integrabilità che ho linkato l'ho trovata anche sul mio libro di Analisi 1…
come si spiega questa cosa? Cioè… come fa a essere integrabile e non esserlo allo stesso tempo?
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale# ... ilit.C3.A0
La condizione di integrabilità che ho linkato l'ho trovata anche sul mio libro di Analisi 1…
come si spiega questa cosa? Cioè… come fa a essere integrabile e non esserlo allo stesso tempo?
Mi pare che nelle ipotesi del link (cui rimandi) ci sia un certo $[a,b]$... 
Il teorema di cui parli garantisce l'integrabilità di funzioni continue su un insieme limitato (che poi è l'ambiente naturale dove si fa la teoria di base dell'integrale di Riemann).
L'integrazione su domini illimitati è argomento degli integrali impropri (o generalizzati).
Il teorema di cui parli garantisce l'integrabilità di funzioni continue su un insieme limitato (che poi è l'ambiente naturale dove si fa la teoria di base dell'integrale di Riemann).
L'integrazione su domini illimitati è argomento degli integrali impropri (o generalizzati).
Così torna. 
Ma tornando alla questione iniziale, se io volessi applicare il teorema del confronto, confrontando la funzione integranda con una della famiglia [tex]\frac{1}{x^\alpha}[/tex], come faccio se il teorema del confronto è enunciato in un intervallo del tipo [tex][a, +\infty)[/tex]? (del resto, anche tu quando hai citato l'integrabilità di 1/x l'hai fatto in [tex][1,+\infty)[/tex]!)
Ma tornando alla questione iniziale, se io volessi applicare il teorema del confronto, confrontando la funzione integranda con una della famiglia [tex]\frac{1}{x^\alpha}[/tex], come faccio se il teorema del confronto è enunciato in un intervallo del tipo [tex][a, +\infty)[/tex]? (del resto, anche tu quando hai citato l'integrabilità di 1/x l'hai fatto in [tex][1,+\infty)[/tex]!)
Io non userei il confronto, ma il confronto asintotico (e dai un'occhiata al segno, mi raccomando!).
In che senso "dai un'occhiata al segno"?
Potresti farmi vedere come sarebbe applicando il confronto asintotico?
Potresti farmi vedere come sarebbe applicando il confronto asintotico?
Perdonami, mi sono bevuto un segno (non avevo notato il $-t$ nell'esponenziale).
Ovviamente vale [tex]\lim_{t \to -\infty} \sqrt[3]{t}e^{-t} = -\infty[/tex], quindi direi che non c'è speranza di convergenza.
Ovviamente vale [tex]\lim_{t \to -\infty} \sqrt[3]{t}e^{-t} = -\infty[/tex], quindi direi che non c'è speranza di convergenza.
Quindi basta calcolare il limite della funzione integranda per stabilire se c'è convergenza?
Mi sa che mi son perso qualcosa...
Mi sa che mi son perso qualcosa...
"tano_91":
Quindi basta calcolare il limite della funzione integranda per stabilire se c'è convergenza?
Certo che no.
Però, se il limite esiste e non è nullo, puoi facilmente concludere. Pensaci, è abbastanza intuitivo: prendi una funzione di segno costante che non si "avvicina" all'asse: come può l'area sottesa essere finita?
Comunque, ti consiglio la lettura e lo studio approfondito dei paragrafi di teoria sugli integrali impropri del tuo libro e/o dei tuoi appunti.
Forse ho capito cosa intendi… c'entra qualcosa l'ordine di infinito/infinitesimo?
Sì, esatto.
Vediamo se ho capito: considerando il caso [tex]x \rightarrow +\infty[/tex], facendo due conti noto che l'infinitesimo è di ordine superiore a qualsiasi [tex]x^{\alpha}[/tex] e quindi è integrabile perché superiore anche alle potenze con esponente maggiore di 1?
Ma a che cosa ti stai riferendo? A quale esercizio?
Prendi lo stesso integrale di prima, considerato tra 0 e + infinito, l'esercizio è: valutare l'integrabilità della funzione integranda in [tex][0, +\infty][/tex]
Scusami, non avevo capito.
Comunque sì, direi che hai concluso bene.
Comunque sì, direi che hai concluso bene.
Ok! Grazie per l'aiuto.
Prego, figurati.
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