Integrale generalizzato

[tommyr22-votailprof]

sono ancora alle prese con integrali e stavolta mi sono imbattuto su questi tipi generalizzati,che come saprete bene sono integrali di funzioni non limitate.
adesso sia nel libro di testo di analisi che su internet non trovo esercizi di esempio su questi integrali.

ho trovato però questo esercizio del mio prof:
$\int_0^+oo(x^2+x)/(x^4+x^2+1)e^(-\alphax^2)dx$

e chiede di sapere se esiste l'integrale al variare del parametro $\alpha>=0$ e poi calcolarlo quando $\alpha=0$(in questo caso è un semplice integrale definito).

adesso ho capito che dovrei risolvere l'integrale e successivamente vedere se il limite della funzione stessa converge o diverge, ma come faccio con il parametro?

grazie!

[Dorian1]

Trovare una primitiva di quella funzione è impresa non da poco. Perciò si devono usare dei criteri che permettano di dirimere la questione della convergenza dell'integrale senza "sporcarsi le mani"... Ecco i più usati:

http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_improprio

ad ogni modo, sia $c in ] 0 , +oo[$ :

$int_0^(+oo) (x^2 + x)/(x^4 + x^2 + 1) * 1/(e^(alpha*x^2))*dx = int_0^c (x^2 + x)/(x^4 + x^2 + 1) * 1/(e^(alpha*x^2))*dx + int_c^(+oo) (x^2 + x)/(x^4 + x^2 + 1) * 1/(e^(alpha*x^2))*dx$

dunque la convergenza dell'integrale dato equivale alla convergenza dei due integrali al secondo membro: il primo è banalmente convergente, poichè la funzione integranda è continua ovunque nell'intervallo $[ 0 , c ]$ (quindi, in particolare, ivi localmente Riemann-integrabile). Trattiamo ora il secondo integrale, del quale studieremo l'integrabilità in senso generalizzato:

$(x^2 + x)/(x^4 + x^2 + 1) * 1/(e^(alpha*x^2)) sim_(+oo) 1/x^2 * 1/(e^(alpha*x^2)) <= 1/x^2$

indipendentemente dalla scelta di $alpha$ nei reali positivi, la funzione integranda è asintotica a $+oo$ alla funzione $1/x^2 * 1/(e^(alpha*x^2))$, la quale è maggiorata dalla $1/x^2$. Un facile calcolo di primitiva porge:

$int_c^(+oo) (1/x^2) = 1/c$

dalla finitezza dell'ultimo integrale si evince (abbinando CRITERIO DEL CONFRONTO e CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO, da Wikipedia) che:

$int_c^(+oo) (x^2 + x)/(x^4 + x^2 + 1) * 1/(e^(alpha*x^2))*dx in RR$

MORALE: $int_0^(+oo) (x^2 + x)/(x^4 + x^2 + 1) * 1/(e^(alpha*x^2))*dx in RR$ , $ AA alpha in [0 +oo]$.

[Dorian1]

Si, dimenticavo... Per $alpha = 0$ si deve trovare una primitiva. La funzione si semplifica notevolmente, diventando un rapporto tra polinomi... Buon lavoro!

[tommyr22-votailprof]

grazie di tutto mi è chiaro tutto tranne un passaggio importante ma che non riesco a capire.
in pratica nello studio dell'integrale generalizzato non capisco come bisogna trovarsi la sua funzione asintotica.

ad esempio in questo caso mi si dice che data questa funzione : $(x)/((\sqrt(x^2)+3)^n)$ $\sim$ $(1)/(x^(n-1))$

la radice si estende anche per +3(non riesco ad allungarla) =)

[Dorian1]

Due funzioni $f$ , $g : RR -> RR$ si dicono asintotiche (a $+oo$) se:

$lim_(x -> +oo) f(x)/g(x) = 1$

Quindi, se $f$ è la funzione integranda, il problema sarà trovare un'opportuna $g$ tale che il limite detto valga $1$. Per trovare una funzione asintotica??? Beh, bisogna cercarla... Altro non si riesce a dire...

Nell'esempio considerato da te:

$lim_(x -> +oo) (x/(sqrt(x^2 + 3))^n)/(1/x^(n-1)) = lim_(x -> +oo) (x/(sqrt(x^2 + 3))^n)*x^(n-1) =lim_(x -> +oo) (x^n/(sqrt(x^2 + 3))^n) = lim_(x -> +oo) (x/(sqrt(x^2 + 3)))^n = lim_(x -> +oo) (x/(x*sqrt(1 + 3/x^2)))^n = lim_(x -> +oo) (1/(sqrt(1 + 3/x^2)))^n = 1^n = 1$.

[tommyr22-votailprof]

ho capito..però non posso provare funzioni a caso affinche il limite venga 1.C'è qualche trucco o teorema che permette di cercarla in modo meccanico?
al solito grazie

[Dorian1]

Prego.
Mah... Direi che di solito si cerca di far saltare fuori qualche limite notevole, oppure di approssimare la funzione con un polinomio.