Integrale generalizzato

[thedarkhero]

Calcolare $\int_1^oo (\pi/2-arctan(x))/((arctan(x))(\pi/2+arctan(x))(x^2+1)) dx$.
Ho pensato alla sostituzione $t=arctan(x)$.
Risulta $\int_\(pi/2)^oo (\pi/2-t)/((t)(\pi/2+t)(tan(t)^2+1)(cos^2(t))) dt=\int_\(pi/2)^oo (\pi/2-t)/((t)(\pi/2+t)) dt$.
Poi però non so più che fare...

[ciampax]

Noooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ma che sostituzione hai fatto? Se poni $t=\arctan x$ hai pure che $dt={dx}/{1+x^2}$ e che gli estremi diventano $x=1\Rightarrow t=\pi/4$, $x=+\infty\Rightarrow t=\pi/2$ da cui

$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\pi/2-t}{t\ (t+\pi/2)}\ dt=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\pi-2t}{t\ (2t+\pi)}\ dt$.

[thedarkhero]

Sei sicuro che gli estremi vadano variati in questo modo?
Ma poi come proseguo nel calcolo della primitiva?

[ciampax]

Sì che sono sicuro!

Devi fare l'integrale di una funzione razionale fratta!

[thedarkhero]

Ma scusa dovrai trovare il dx, non il dt no?
t=arctan(x)
x=tan(t)
dx=1/cos^2(x)
giusto?
cosa c'entra $dt=dx/(1+x^2)$?

[ciampax]

Perché è più semplice derivare la t e trovare così una relazione per le x! A quel punto tutto il pezzo nell'integrale con $dx/{1+x^2}$ si sostituisce!

[thedarkhero]

Ok ma si può fare anche come ho fatto io no? (a parte gli estremi che avevo sbagliato)

[ciampax]

Si ma devi semplificare il prodotto

$(1+\tan^2 t)\cos^2 t$.

[thedarkhero]

L'ho fatto ancora nel primo post quello