Integrale generalizzato
Ciao a tutti, sul mio libro di esercitazione per l'esame di Analisi (Bramanti) è presente il seguente integrale generalizzato
$ int_(-1)^(1)sin(x)/(xroot(3)(1-x^2))dx $
E la soluzione proposta (che non riesco a comprendere appieno) è: "In $x=+-1$ infinito di ordine $1/3$, integrabile; in $x=0$ limitata, l'integrale converge."
Qualcuno potrebbe farmi vedere lo svolgimento per arrivare alle conclusioni date?
Da quello che mi sembra di aver capito nell'intorno di $x=+-1$ la funzione converge per confronto con $ g(x)=1/(1-x^2)^(1/3) $ è corretto?
Per quanto riguarda l'intorno di $x=0$ è corretto affermare che $ f(x)~x/x^(2/3)~ 1/x^(1/3) $? Perché il testo si limita a dire che è limitata?
Grazie
$ int_(-1)^(1)sin(x)/(xroot(3)(1-x^2))dx $
E la soluzione proposta (che non riesco a comprendere appieno) è: "In $x=+-1$ infinito di ordine $1/3$, integrabile; in $x=0$ limitata, l'integrale converge."
Qualcuno potrebbe farmi vedere lo svolgimento per arrivare alle conclusioni date?
Da quello che mi sembra di aver capito nell'intorno di $x=+-1$ la funzione converge per confronto con $ g(x)=1/(1-x^2)^(1/3) $ è corretto?
Per quanto riguarda l'intorno di $x=0$ è corretto affermare che $ f(x)~x/x^(2/3)~ 1/x^(1/3) $? Perché il testo si limita a dire che è limitata?
Grazie
Risposte
"alemartina23":
Ciao a tutti, sul mio libro di esercitazione per l'esame di Analisi (Bramanti) è presente il seguente integrale generalizzato
$ int_(-1)^(1)sin(x)/(xroot(3)(1-x^2))dx $
E la soluzione proposta (che non riesco a comprendere appieno) è: "In $x=+-1$ infinito di ordine $1/3$, integrabile; in $x=0$ limitata, l'integrale converge."
Qualcuno potrebbe farmi vedere lo svolgimento per arrivare alle conclusioni date?
Da quello che mi sembra di aver capito nell'intorno di $x=+-1$ la funzione converge per confronto con $ g(x)=1/(1-x^2)^(1/3) $ è corretto?
Sì, ma ovviamente puoi essere più preciso su quel che accade in $1$ ed in $-1$, distinguendo i casi.
"alemartina23":
Per quanto riguarda l'intorno di $x=0$ è corretto affermare che $ f(x)~x/x^(2/3)~ 1/x^(1/3) $?
No.
Fai bene i conti.
Ciao! Potresti notare che la funzione è pari, per poi ragionare su cosa succede alla funzione integranda quando $x\to0$ e per $x \to 1^-$ per poi applicare il criterio del confronto asintotico
Grazie mille per la risposta, veniamo al mio problema:
In $-1$
$ f(x)~(-sin1)/(-(1-x^2)^(1/3))~sin1/(1-x^2)^(1/3)<=1/(1-x^2)^(1/3) $
Mentre in $1$
$f(x)~sin1/(1-x^2)^(1/3)<=1/(1-x^2)^(1/3)$
Perdona la svista, ora dovrebbe andar bene:
$f(x)~x/root(3)(x^3-x^5)~x/x~1$
Vi prego di farmi notare se ci sono ulteriori errori, grazie.
"gugo82":
Sì, ma ovviamente puoi essere più preciso su quel che accade in $1$ ed in $-1$, distinguendo i casi.
In $-1$
$ f(x)~(-sin1)/(-(1-x^2)^(1/3))~sin1/(1-x^2)^(1/3)<=1/(1-x^2)^(1/3) $
Mentre in $1$
$f(x)~sin1/(1-x^2)^(1/3)<=1/(1-x^2)^(1/3)$
"gugo82":
No.
Fai bene i conti.
Perdona la svista, ora dovrebbe andar bene:
$f(x)~x/root(3)(x^3-x^5)~x/x~1$
Vi prego di farmi notare se ci sono ulteriori errori, grazie.
"Mephlip":
Ciao! Potresti notare che la funzione è pari, per poi ragionare su cosa succede alla funzione integranda quando $x\to0$ e per $x \to 1^-$ per poi applicare il criterio del confronto asintotico
Grazie! Così facendo potrei evitare di mostrare che effettivamente in $-1$ e in $1$ la funzione si comporta praticamente allo stesso modo.
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