Integrale generalizzato
Salve a tutti,
avrei qualche difficoltà nella risoluzione di questo integrale generalizzato
$ int_(1)^(3) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx $
che io ho spezzato in due integrali, il primo con estremi di integrazione 1 e 2 e il secondo con estremi 2 e 3.
Come criteri di risoluzione ho studiato il teorema del confronto, il teorema del confronto asintotico e il criterio di convergenza assoluta (che non credo sia di aiuto in questo caso).
Dopodichè sono solamente riuscita a esprimere, nell'integrale di estremi 1 e 2, poichè 1 è il punto problematico, il $ 1/ln(x) $ come $ 1/(x-1) $ sfruttando l'asintoticità del logaritmo, poi non so più andare avanti, come procedo?
Grazie
avrei qualche difficoltà nella risoluzione di questo integrale generalizzato
$ int_(1)^(3) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx $
che io ho spezzato in due integrali, il primo con estremi di integrazione 1 e 2 e il secondo con estremi 2 e 3.
Come criteri di risoluzione ho studiato il teorema del confronto, il teorema del confronto asintotico e il criterio di convergenza assoluta (che non credo sia di aiuto in questo caso).
Dopodichè sono solamente riuscita a esprimere, nell'integrale di estremi 1 e 2, poichè 1 è il punto problematico, il $ 1/ln(x) $ come $ 1/(x-1) $ sfruttando l'asintoticità del logaritmo, poi non so più andare avanti, come procedo?
Grazie
Risposte
Ciao izzy11,
Benvenuta sul forum!
La tua idea di spezzare l'intergrale proposto mi pare buona:
$ int_(1)^(3) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx = int_(1)^(2) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx + int_(2)^(3) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx $
Naturalmente il problema del primo integrale è in $1 $ e per $x \to 1 $ si ha:
$ int_(1)^(2) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx $ [tex]\sim[/tex] $ frac{1}{2^{2/3}} int_(1)^(2) frac{dx}{(x-1)^(1/3)} $
e l'ultimo integrale scritto converge per l'integrale improprio notevole $int_a^b frac{dx}{(x - a)^p} $ che converge se $p < 1 $
D'altronde il problema del secondo integrale è in $3 $ e per $x \to 3 $ si ha:
$ int_(2)^(3) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx $ [tex]\sim[/tex] $ frac{2^{2/3}}{ln(3)} int_(2)^(3) frac{dx}{(3 - x)^{2/3}} $
e l'ultimo integrale scritto converge per l'integrale improprio notevole $int_a^b frac{dx}{(b - x)^p} $ che converge se $p < 1 $
Si conclude che l'integrale improprio proposto converge.
Benvenuta sul forum!
La tua idea di spezzare l'intergrale proposto mi pare buona:
$ int_(1)^(3) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx = int_(1)^(2) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx + int_(2)^(3) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx $
Naturalmente il problema del primo integrale è in $1 $ e per $x \to 1 $ si ha:
$ int_(1)^(2) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx $ [tex]\sim[/tex] $ frac{1}{2^{2/3}} int_(1)^(2) frac{dx}{(x-1)^(1/3)} $
e l'ultimo integrale scritto converge per l'integrale improprio notevole $int_a^b frac{dx}{(x - a)^p} $ che converge se $p < 1 $
D'altronde il problema del secondo integrale è in $3 $ e per $x \to 3 $ si ha:
$ int_(2)^(3) 1/ln(x)((x-1)/(3-x))^(2/3) dx $ [tex]\sim[/tex] $ frac{2^{2/3}}{ln(3)} int_(2)^(3) frac{dx}{(3 - x)^{2/3}} $
e l'ultimo integrale scritto converge per l'integrale improprio notevole $int_a^b frac{dx}{(b - x)^p} $ che converge se $p < 1 $
Si conclude che l'integrale improprio proposto converge.
Grazie mille! Mi ero proprio bloccata sul nulla allora! 
"izzy11":
Grazie mille!
Prego!
"izzy11":
Mi ero proprio bloccata sul nulla
Proprio sul nulla no, però diciamo che il grosso l'avevi già fatto...
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