Integrale generalizzato

[michele.assirelli]

Salve, ho problemi nella risoluzione del seguente integrale:

$ \int_2^∞ xln((x+2)/(x+3)) dx $

Chiaramente la funzione integranda è definita in $[2,+∞[$
Ed è quindi necessario studiare l'integrale per $x->+∞$, ma non saprei come procedere.
Sarebbe meglio risolvere l'esercizio senza calcolare esplicitamente l'integrale e sostituire gli estremi, ma ricorrendo ai criteri del confronto e del confronto asintotico

[Cesare34556]

Hai provato a vedere cosa fa la funzione per $x rarr +oo$ ?

[fisicarlo]

Devi studiare l'integrando per $x->infty$ , cioè la funzione da integrare, e vedere se va a 0 oppure no, e se va a zero con quale velocità va a zero (linguaggio schifoso da fisico, perdonami, ma almeno si capisce...)
$ lim_(x -> infty) xlog((x+2)/(x+3))=lim_(x -> infty) xlog((1+2/x)/(1+3/x)) =lim_(y -> 0) 1/ylog((1+2y)/(1+3y)) =$
$ lim_(y -> 0) 2log(1+2y)/(2y)-3lim_(y -> 0)log(1+3y)/(3y)) =2-3 =-1 $

Quindi l'integrale non va a zero per $x->infty$ , e quindi la funzione non è integrabile

Invito i matematici "seri" a dare una risposta più rigorosa, intanto spero che questa possa servirti da indizio per ragionarci su...