Integrale generalizzato

[Gauss95]

Salve,
mi chiedevo che esiste una funzione il cui integrale generalizzato da 1 a più infinito converga, ma la funzione non tende a 0 per x che tende a più infinito.

[dan952]

Se la funzione è $C^{0}([a,+\infty))$ e $R([1,b))$, con $a,b \geq 1$ cioè continua da $a$ in poi allora $\lim_{x \rightarrow +\infty} f=0$ è condizione necessaria (quindi no non esiste) affinché sia integrabile secondo Riemann in senso generalizzato.
Ora non so se la stessa cosa vale anche per funzioni non continue.

EDIT: post errato

[gugo82]

Certo che esiste.

[Gauss95]

gugo82 riusciresti fornire un esempio?, perchè io pensavo ad esempio ad una sinusoide o simili così che essendo oscillanti non hanno limite a più infinito, ma non riesco a trovarne che abbiano integrale convergente

[dan952]

Ah si è vero
Infatti si ha $|\int_{1}^{a} \cos x dx| \leq 2$ per ogni $a \in RR$ anche se $\lim_{x \rightarrow +\infty} \cos(x)$ non esiste

[dan952]

Tuttavia non ne sono convinto io ricordo che il prof. disse che per $f$ continua la condizione che sia infinitesima era necessaria per appartenere a $R([a,+\infty))$

[gugo82]

L'avevo postato tempo fa ma non lo trovo... Mah.

Ad ogni modo, la condizione \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0\) non è né necessaria né sufficiente affinché l'integrale improprio \(\int_1^\infty f(x)\text{d} x\) converga.

Che non sia sufficiente si vede (come in ogni buon corso di Analisi) mediante l'esempio di \(f(x) := 1/x\), che è infinitesima in \(+\infty\) pur avendo integrale divergente.

Che non sia necessaria si può vedere con la seguente costruzione.
Fissiamo tre successioni:

[list=1][*:38yc0ngu] \((h_n)\) con le seguenti proprietà:
[list=a][*:38yc0ngu] \(h_n >0\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\),
[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] \((h_n)\) è strettamente crescente,
[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] \(\displaystyle \lim_n h_n = + \infty\);[/*:m:38yc0ngu][/list:o:38yc0ngu]
[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] \((b_n)\) con le seguenti proprietà:
[list=a][*:38yc0ngu] \(b_n >0\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\),
[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] \((b_n)\) è strettamente decrescente,
[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] \(\sum b_nh_n\) è una serie convergente (il che, in particolare, implica che \(\displaystyle \lim_n b_n = 0\) e che \(b_n\) è infinitesimo d'ordine superiore ad \(1/h_n\));[/*:m:38yc0ngu][/list:o:38yc0ngu]
[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] \((d_n)\) con le seguenti proprietà:
[list=a][*:38yc0ngu] \(d_n >1\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\),
[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] \((d_n)\) è strettamente crescente,
[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] \(\displaystyle \lim_n d_n = +\infty\),
[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] \(d_1 -1 \geq \frac{b_1}{2}\) e \(d_{n+1} - \frac{b_{n+1}}{2} \geq d_n + \frac{b_n}{2}\) per ogni indice \(n\in \mathbb{N}\);

Un commento su quest'ultima proprietà che, a prima vista, sembra "strana".
Essa, insieme alla 3.a garantisce che l'intervallo \([d_1-\frac{b_1}{2}, d_1 + \frac{b_1}{2}]\) sia interno all'intervallo \([1,+\infty[\) e che per ogni indice \(n\) l'intervallo \([d_{n+1}-\frac{b_{n+1}}{2}, d_{n+1} + \frac{b_{n+1}}{2}]\) segua, senza sovrapporsi (se non per l'estremo inferiore), l'intervallo \([d_n-\frac{b_n}{2}, d_n + \frac{b_n}{2}]\).

[/*:m:38yc0ngu][/list:o:38yc0ngu][/*:m:38yc0ngu][/list:o:38yc0ngu]
ed usiamo tali successioni per costruire la funzione \(f:[1,+\infty[ \to [0,+\infty[\) definita dall'assegnazione:
\[
f(x) := \begin{cases} h_n - \frac{2h_n}{b_n} |x-d_n| &\text{, se } d_n-\frac{b_n}{2} \leq x \leq d_n + \frac{b_n}{2} \text{ per qualche indice } n\\
0 & \text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
La \(f\) è una funzione non negativa, continua in \([1,+\infty[\) ed il rettangoloide:
\[
\mathcal{R} (f;1,+\infty) := \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2: x\geq 1 \text{ e } 0\leq y\leq f(x)\}
\]
è costituito da:

[*:38yc0ngu] infiniti segmenti orizzontali appartenenti all'asse delle ascisse, in corrispondenza degli intervalli non sovrapposti del tipo \([1,d_n-\frac{b_n}{2}]\) e \([d_n+ \frac{b_n}{2} , d_{n+1} - \frac{b_{n+1}}{2}]\);

[/*:m:38yc0ngu]
[*:38yc0ngu] infiniti triangoli isosceli su basi appartenenti all'asse delle ascisse, ognuno con base di lunghezza \(b_n\) con punto medio in \(d_n\) ed altezza di lunghezza \(h_n\), in corrispondenza degli intervalli non sovrapposti \([d_n-\frac{b_n}{2}, d_n+ \frac{b_n}{2}]\).[/*:m:38yc0ngu][/list:u:38yc0ngu]

Per fare un esempio concreto, basta prendere \(h_n = n+1 = d_n\) e \(b_n=\frac{1}{2^n}\): in tal caso si ottiene il seguente grafico:
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=5;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red";
path([[1,0], [1.5,0], [2,2], [2.5,0], [2.75,0], [3,3], [3.25,0], [3.875,0], [4,4], [4.125,0], [4.9375, 0], [5,5], [5.0625,0], [5.96875,0]]);[/asvg]

Proviamo che:
\[\tag{1}
\lim_{x\to +\infty} f(x) \text{ non esiste}
\]
e che, anzi, risulta:
\[
\begin{align}
\tag{2} \liminf_{x\to +\infty} f(x) &= 0\\
\tag{3} \limsup_{x\to +\infty} f(x) &= +\infty\;
\end{align}
\]

Per dimostrare la (1) basta, a norma del teorema ponte, determinare due successioni positivamente divergenti, diciamole \((x_n^\prime)\) ed \((x_n^{\prime \prime})\), per le quali \(\lim_n f(x_n^\prime) \neq \lim_n f(x_n^{\prime \prime})\).
Se prendiamo:
\[
\begin{split}
x_n^\prime &:= d_n - \frac{b_n}{2}\\
x_n^{\prime \prime} &:= d_n
\end{split}
\]
troviamo:
\[
\begin{split}
f(x_n^\prime) &= f(d_n - \frac{b_n}{2}) = 0\\
f(x_n^{\prime \prime}) &= f(d_n) = h_n
\end{split}
\]
e dunque:
\[
\begin{split}
\lim_n f(x_n^\prime) & = 0\\
\lim_n f(x_n^{\prime \prime}) &=\lim_n h_n = +\infty\; .
\end{split}
\]
D'altra parte, poiché \(f\) prende valori in \([0,+\infty[\), tali uguaglianze mostrano che valgono le relazioni più precise (2) e (3).


Proviamo che \(f\) ha integrale improprio convergente in \([1,+\infty[\), cioè che:
\[\tag{4}
\lim_{r\to +\infty} \int_1^r f(x)\ \text{d} x \text{ esiste ed è finito.}
\]

Visto che \(f\) è continua in \([1,+\infty[\), ha senso considerare la funzione integrale \(F(r) := \int_1^r f(x)\text{d} x\), cosicché dimostrare la (4) equivale a mostrare che esiste finito il \(\displaystyle
\lim_{r\to +\infty} F(r)\).

Dato che \(F^\prime (r)=f(r)\geq 0\), la funzione integrale è crescente in \([1,+\infty[\) e da ciò segue che essa è regolare in \(+\infty\) ed ha:
\[
\lim_{r\to +\infty} F(r) = \sup_{r\geq 1} F(r)\; .
\]

Per provare che il limite è finito, a norma del teorema ponte, basta determinare una successione positivamente divergente, diciamola \((r_n)\), tale che:
\[
\lim_n F(r_n) = \sup_n F(r_n) \text{ è finito}.
\]
Posto:
\[
r_n = d_n+\frac{b_n}{2}
\]
e tenute in conto la positività della funzione \(f\) e l'interpretazione geometrica dell'integrale definito, si ha:
\[
F(r_n) = \operatorname{area} \mathcal{R} (f;1,r_n)
\]
(cioè \(F(r_n)\) coincide con l'area del rettangoloide relativo ad \(f\) di base \([1,r_n]\)).
Dato che \(\mathcal{R} (f;1,r_n)\) è costituito da \(n\) segmenti appartenenti all'asse \(x\) -aventi area nulla- e da \(n\) triangoli isosceli -la cui area si calcola con le formule della Geometria Elementare- del tipo indicato più sopra, si trova:
\[
F(r_n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} b_k h_k = \frac{1}{2}\ \sum_{k=1}^n\; .
\]
Poiché la serie \(\sum b_nh_n\) è a termini positivi (per 1.a e 2.a) ed è convergente (per la 2.c), dalla precedente segue la maggiorazione:
\[
F(r_n) \leq \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty b_n h_n\; ,
\]
cosicché:
\[
\lim_n F(r_n) = \sup_n F(r_n) \leq \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty b_n h_n < +\infty\; ,
\]
come volevamo.


Con quanche passaggio in più è possibile mostrare che vale l'uguaglianza:
\[
\int_1^\infty F(x)\ \text{d}x = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty b_n h_n\; ,
\]
la quale concorda con l'intuizione geometrica che impone come area del rettangoloide non limitato \(\mathcal{R} (f;1,+\infty)\), e dunque come valore all'integrale improprio \(\int_1^\infty F(x)\ \text{d}x\), la somma delle aree degli infiniti triangoli costituenti il rettangoloide.

Modificando la costruzione (ed, in particolare, scegliendo bene gli \(h_n\)) si può ottenere una funzione \(f\) con integrale improprio convergente in \([1,+\infty[\) che abbia:
\[
\begin{align}
\liminf_{x\to +\infty} f(x) &= 0\\
\limsup_{x\to +\infty} f(x) &= h\; ,
\end{align}
\]
con \(h\) scelto arbitrariamente in \(]0,+\infty]\).


@dan95:


"dan95":Tuttavia non ne sono convinto io ricordo che il prof. disse che per $f$ continua la condizione che sia infinitesima era necessaria per appartenere a $R([a,+\infty))$


O il professore era distratto oppure ricordi male.

[Gauss95]

Grazie mille per l'esempio.