Integrale generale equazione differenziale

[Gio23121]

Buongiorno ho il seguente problema,vorrei sapere se il procedimento è corretto visto che wolfram non mi da la soluzione e vorrei avere un riscontro anche sul procedimento

Determinare l'integrale generale dell'equazione :

$ y''y^3 + 1 = 0 $

Ho effettuato la sostituzione $y'(t) = z(y(t))$ da cui $y''(t) = z'(y(t))*z(y(t))$

l'equazione diventa :

$y^3 z'z = -1 $ che diventa un equazione del primo ordine a variabili separabili

$ int z dz = -int 1/y^3 dy $

da cui $z^2/2 = 1/(2y^2) + c $ =
= $ z^2= 1/y^2 +2c $ =
= $ z^2= (1+2y^2c) /y^2 $

ovvero $ z= sqrt(1+2y^2c) /y $

con z = y'(t) ho , $ y'= sqrt(1+2y^2c) /y $
Risolvo di nuovo separando le variabili per cui ho $ (yy')/sqrt(1+2cy^2)= 1 $

$ int(y)/sqrt(1+2cy^2)dy= intdt $ (1)

Per risolvere il primo integrale effettuo la sostituzione $ u = 1+2cy^2 $ , $dy= (du)/(4cy)$ ,
$ 1/(4c)intu^(-1/2) = 1/(4c) * 2sqrt(u) = sqrt(u)/(2c) = sqrt(1+2cy^2)/(2c) $

Tornando alla (1) ho $sqrt(1+2cy^2)/(2c) = t$

$ y = +-sqrt((4c^2t^2 - 1)/(2c)) $

[pilloeffe]

Ciao Gio2312,

Non ho controllato tutti i conti, ma la prima cosa strana che vedo è che essendo un'equazione del secondo ordine dovrebbero comparire due costanti $c_1 $ e $c_2 $: perché compare solo $c$?

Poi se è corretto l'integrale $ \int y/sqrt(1+2cy^2)\text{d}y $ è immediato, perché facilmente riconducibile al tipo

$\int [f(y)]^a f'(y) \text{d}y = \frac{[f(y)]^{a + 1}}{a + 1} + c_2 $

ove nel caso proposto $a = - 1/2 $ e $f(y) = 1+2cy^2 $

[Gio23121]

Ciao pilloeffe,grazie innanzi tutto per la risposta , hai ragione ho dimenticato di aggiungere una seconda costante, dovrebbe quindi essere $sqrt(1+2cy^2)/(2c) = t + k $ , da cui poi ricavare esplicitamente la y(t). Non mi ero accorto che l'integrale fosse immediato, comunque la soluzione dell'integrale ho verificato essere corretta
A livello di procedimento comunque è corretto ?

[pilloeffe]

"Gio2312":Ciao pilloeffe,grazie innanzi tutto per la risposta

Prego!
Attenzione perché tenendo presente la seconda costante il risultato che si ottiene è un po' diverso da quello che hai scritto:

$ (yy')/sqrt(1+ 2c_1 y^2) = \pm 1 $

$ \int(y)/sqrt(1+ 2c_1 y^2)\text{d}y = \pm \int \text{d}t $

$ \sqrt(1+ 2c_1 y^2)/(2c_1) = \pm t + c_2 $

$ (1+ 2c_1 y^2)/(4c_1^2) = t^2 \pm 2c_2 t + c_2^2 $

$ 1+ 2c_1 y^2 = 4c_1^2 (t^2 \pm 2 c_2 t + c_2^2) $

$ 2c_1 y^2 = 4c_1^2 (t^2 \pm 2 c_2 t + c_2^2) - 1 $

$ y^2 = 2c_1(t^2 \pm 2 c_2 t + c_2^2) - 1/(2c_1) $

$ y^2 = 2c_1(t \pm c_2)^2 - 1/(2c_1) $

Dunque, dato che $c_2 $ è una costante e può anche essere negativa, alla fine la soluzione dell'equazione differenziale proposta si può scrivere nel modo seguente:

$y(t) = \pm \sqrt{2c_1(t + c_2)^2 - 1/(2c_1)} = \pm \sqrt{(4c_1^2(t + c_2)^2 - 1)/(2c_1)}$

Una simpatica soluzione alternativa dell'equazione differenziale autonoma proposta si ottiene ponendo $u(t) = y^2(t) \implies u' = 2yy' $ e quindi, dato che naturamente deve essere $u \ne 0 $, si ha:

$u'' = 2(y')^2 + 2 y y'' = (u')^2/(2y^2) - 2/y^2 = (u')^2/(2u) - 2/u$

Dunque si ha:

$u u'' - 1/2 (u')^2 + 2 = 0 $

Derivandola si ottiene:

$u' u'' + u u''' - u'u'' = 0 \implies u u''' = 0 $

Siccome $u \ne 0 $ allora necessariamente $u'''(t) = 0 \implies u(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 $
Dato che abbiamo derivato, non ci possiamo aspettare che vada bene qualsiasi polinomio di secondo grado, quindi per vedere qual è quello corretto inseriamo il polinomio $u(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 $ nell'equazione differenziale del secondo ordine in $u$ e si otterrà la condizione che lega $a_0$, $a_1$ e $a_2$ che ci fornisce la soluzione. Si ha:

$(a_0 + a_1 t + a_2 t^2) 2a_2 - 1/2 (a_1 + 2a_2 t)^2 + 2 = 0 $

$2a_0 a_2 + 2 a_1 a_2 t + 2a_2^2 t^2 - 1/2(a_1^2 + 4a_1 a_2 t + 4 a_2^2 t^2) + 2 = 0 $

$2a_0 a_2 - 1/2 a_1^2 + 2 = 0 $

$4a_0 a_2 - a_1^2 + 4 = 0 $

Quest'ultima equazione può essere risolta rispetto ad $a_0 $ in modo da ottenere $a_0 $ in funzione delle altre due costanti $a_1 $ e $a_2 $