Integrale generale di un'equazione differenziale
Buonpomeriggio a tutti 
l'esercizio è il seguente:
Mediante la ricerca di un fattore integrante, si determini l'integrale generale, in forma implicita,
dell'equazione di fferenziale :
$2x(1+y^2)dx + (1-y^2-2y(x^2))dy=0$
Si ricerchi poi una soluzione esplicita, $y=y(x)$ o $x=x(y)$ di classe $C^1$ passante per il punto $(x_0,y_0)=(3,-1)$ ,
indicando anche un intervallo di $RR^2$ ove tale soluzione esiste ed e unica.
Vorrei capire come impostarlo correttamente. Ringrazio in anticipo!
l'esercizio è il seguente:Mediante la ricerca di un fattore integrante, si determini l'integrale generale, in forma implicita,
dell'equazione di fferenziale :
$2x(1+y^2)dx + (1-y^2-2y(x^2))dy=0$
Si ricerchi poi una soluzione esplicita, $y=y(x)$ o $x=x(y)$ di classe $C^1$ passante per il punto $(x_0,y_0)=(3,-1)$ ,
indicando anche un intervallo di $RR^2$ ove tale soluzione esiste ed e unica.
Vorrei capire come impostarlo correttamente. Ringrazio in anticipo!
Risposte
sono confuso.. sei sicuro che è un'equazione differenziale?
a lezione di Analisi 2
ci avevano detto che di questa forma un'equazione differenziale $ y^((k))+\sum_(j=0)^(k-1)a_j y^((j))=b(x) $
ove $b(x)=0$ l'equazione si dice omogenea
quella che scrivi tu mi sembra una forma differenziale (o campo vettoriale)
che è di questa forma (in $RR^2$) \( \overrightarrow{F}= F_1 (x,y)dx+F_2 (x,y)dy \)
a lezione di Analisi 2
ci avevano detto che di questa forma un'equazione differenziale $ y^((k))+\sum_(j=0)^(k-1)a_j y^((j))=b(x) $
ove $b(x)=0$ l'equazione si dice omogenea
quella che scrivi tu mi sembra una forma differenziale (o campo vettoriale)
che è di questa forma (in $RR^2$) \( \overrightarrow{F}= F_1 (x,y)dx+F_2 (x,y)dy \)
L'equazione è di questa forma, http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... ale_esatta, ma non sono sicuro dello svolgimento. Grazie ugualmente
non sapevo la cosa che le equazioni differenziali si potevano dire anche esatte..
a dire il vero non ci avevo mai pensato.. comunque in quell'esempio prende un'equazione differenziale (non omogenea)
e poi la trasforma in una forma differenziale (non so il motivo, non me l'hanno insegnato)
e poi così trova il potenziale di quella forma differenziale
per trovare un potenziale, la forma DEVE essere esatta (o come si chiama in Fisica ..deve essere conservativo (il campo))
data una forma differenziale..puoi trovare il suo potenziale tramite il metodo degli integrali successivi..
ed è quello che lì..
a dire il vero non ci avevo mai pensato.. comunque in quell'esempio prende un'equazione differenziale (non omogenea)
e poi la trasforma in una forma differenziale (non so il motivo, non me l'hanno insegnato)
e poi così trova il potenziale di quella forma differenziale
per trovare un potenziale, la forma DEVE essere esatta (o come si chiama in Fisica ..deve essere conservativo (il campo))
data una forma differenziale..puoi trovare il suo potenziale tramite il metodo degli integrali successivi..
ed è quello che lì..
@ghezzi: Sei sicuro del testo? Perché mi pare che la forma differenziale non sia esatta, il che mi sembra strano in un esercizio.
salvo errata corrige, la traccia è questa 
La forma diff. data non è esatta perché le derivate parziali "incrociate" non sono uguali. Il fattore integrante serve proprio a rendere esatta la forma. Da regole note salta fuori che, nel nostro caso, tale fatt.int. $mu$ ( ammesso che esista) deve essere funzione della sola y : $mu=mu(y)$
Moltiplicando ora l'equazione data per $mu$ si ha :
(A) $ 2\mu x(1+y^2)dx+\mu(1-y^2-2x^2y)dy=0$
Ed eguagliando le derivate "incrociate" :
$2x(1+y^2){d\mu}/{dy}+4\muxy=-4\mu xy$
e da qui :
${d\mu}/{\mu}=-{4y}/{1+y^2}dy$
Integrando rispetto ad y risulta:
$\mu=1/{(1+y^2)^2}$
La (A) diventa allora :
(B) ${2x}/{1+y^2}dx+{1-y^2-2x^2y}/{(1+t^2)^2}dy=0$
Con qualche calcolo [ che lascio a te] la (B) si può anche scrivere come segue :
\(\displaystyle d(\frac{x^2+y}{1+y^2})=0 \) ["d" = differenziale totale]
Pertanto la soluzione richiesta è :
${x^2+y}/{1+y^2}=C$
dove $C$ è una costante arbitraria. Tale costante diventa $C=4$ imponendo il passaggio per il punto $(3,-1)$
Moltiplicando ora l'equazione data per $mu$ si ha :
(A) $ 2\mu x(1+y^2)dx+\mu(1-y^2-2x^2y)dy=0$
Ed eguagliando le derivate "incrociate" :
$2x(1+y^2){d\mu}/{dy}+4\muxy=-4\mu xy$
e da qui :
${d\mu}/{\mu}=-{4y}/{1+y^2}dy$
Integrando rispetto ad y risulta:
$\mu=1/{(1+y^2)^2}$
La (A) diventa allora :
(B) ${2x}/{1+y^2}dx+{1-y^2-2x^2y}/{(1+t^2)^2}dy=0$
Con qualche calcolo [ che lascio a te] la (B) si può anche scrivere come segue :
\(\displaystyle d(\frac{x^2+y}{1+y^2})=0 \) ["d" = differenziale totale]
Pertanto la soluzione richiesta è :
${x^2+y}/{1+y^2}=C$
dove $C$ è una costante arbitraria. Tale costante diventa $C=4$ imponendo il passaggio per il punto $(3,-1)$
Thanks a lot!
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