Integrale generale

[Ale1521]

Ho un esercizio che chiede di calcolare l'integrale generale della seguente funzione:
$y'+(2-\frac{1}{x})y=x^2$
Innanzitutto, risolvo l'equazione omogenea associata
$y'+(2-\frac{1}{x})y=0$
Il cui risultato mi viene:
$y=\frac{xc}{e^{2x}}$
A questo punto, trovo una soluzione particolare $y_p$:
$y_p=\frac{xc(x)}{e^{2x}}$
Derivo:
$y_p'=\frac{c(x)(1-2x)+xc'(x)}{e^{2x}}$
Sostituisco la soluzione particolare e l'equazione omogenea risolta, all'interno della funzione iniziale, per ricavare $c'(x)$:
$c'(x)=xe^{2x}$
Integro per trovare $c(x)$
$c(x)=\frac{e^{2x}(2x-1)}{4}$
Sostituisco $c(x)$ nella soluzione particolare:
$y_p=\frac{2x^2-x}{4}$
A questo punto, qual è l'integrale generale?
È $y_p$? Se sì, perché allora si chiama integrale generale, se un integrale proprio non sembra?!
Inoltre, è corretto il procedimento che ho seguito?
$c$ diventa $c(x)$ perché è una costante che dipende dal parametro iniziale: se ho un parametro iniziale il problema si chiama "Di Cauchy" e si risolve semplicemente ricavando $c(x)$?
Grazie a chi dissolverà i miei dubbi

[ciampax]

L'integrale generale è la somma della soluzione dell'omogenea e della soluzione particolare!

Il procedimento da te seguito, che si dice "metodo della variazione delle costanti", è più che corretto, ma a volte un po' tedioso per le equazioni del primo ordine. Quando risolvi una ODE del primo ordine lineare scritta in forma generale come

$y'+p(x)\cdot y=q(x)$

puoi usare la "formula risolutiva"

$y(x)=e^{-P(x)}\cdot[\int e^{P(x)}\ q(x)\ dx+c]$

dove $P(x)=\int p(x)\ dx$ e $c$ è la costante di integrazione. Se provi ad usare questa relazione, vedrai che la soluzione con questo metodo è proprio la somma tra la soluzione dell'omogenea associata e la soluzione particolare.