Integrale generale....

[enrico9991]

devo imparare a fare una serie di esercizi più o meno simili.

esempio di esercizio:

data l'equazione differenziale

y' = ax^2 y

trovare l'integrale generale.


Vi prego spiegatemi come devo fare se potete scrivendo tutti i vari passaggi che si compiono per arrivare alla soluzione.

AIUTOOOO

[goblyn]

E' a variabili separabili:

y=0 è un'integrale particolare.
Supponiamo y<>0 e dividiamo per y:

y'/y = ax^2

Integriamo a dx e sx:

log(y) = a/3 * x^3 + C

y = exp(a/3 * x^3 + C) = exp(C)*exp(a/3 * x^3) = K * exp(a/3 * x^3)

che è l'integrale generale

[enrico9991]

non ho capito, il rpipo passo è:

y' = ax^2 y -----> divido per y entrabi i membri???

e diventa -----> y'/y = ax^2


oppure hai fatto un'altra cosa???

[goblyn]

no no, ho fatto proprio quello!

[enrico9991]

ok, perchè y'/y è diventato log(y)???

e perchè ax^2 è diventato a/3 * x^3 + C ????

non ho capito quello che hai fatto...

[goblyn]

Ho saltato un passaggio:

y' = ax^2 * y

dy/dx = ax^2 * y

dy = ax^2 * y * dx

dy/y = ax^2 * dx

ora integri...

[enrico9991]

...ok, ora integri: non sono capace, potresti spiegrami cosa devo fare???

[goblyn]

scusa, credevo che postando nel forum università fossi capace di integrare...

L'integrale indefinito di (1/y)dy è log(y)+ C infatti la derivata di log(y)+C è 1/y...

Ma come pretendi di risolvere equazioni differenziali senza essere capace di integrare?!

[g.schgor1]

Mi sembra che non vi intendiate
solo per la limitazione della scrittura.
goblyn ha gia' risolto egregiamente
il problema, ma tu non capisci i passaggi.
Provo ad inviarti la soluzione ricavata da MathCad
sperando che ti risulti piu' chiara


(attento pero' a come scrivi:
io avrei interpretato y'=ax^(2y) !)

[enrico9991]

la derivata di log(y) è 1/y,

ma cosa è C ????

dove l'hai presa??

scusa, ma devi avere un po' di pazienza con me, purtroppo lo so, non sono capace di integrare...

[g.schgor1]

Lo vedo.
Quando integri una funzione, il risultato e' vero,
a meno di una costante (C).
(che infatti sparisce se poi fai la derivata per
ritrovare la funzione che hai integrato)

G.Schgör

[enrico9991]

ok, per la C ci sono arrivato, ora quello che non capisco è quell' 1/3.

Perchè (ax^2) diventa (1/3 ax^3)????

[goblyn]

Perché così quando fai la derivata di x^3 (che è 3x^2) il 3 si semplifica con 1/3 e rimane x^2 che è proprio quello che hai all'inizio. Altrimenti, se non metti 1/3, avresti, derivando x^3, 3x^2. Ci sarebbe un 3 di troppo.

[enrico9991]

ok, forse ho capito; quella che ho io è la derivata e io in pratica devo tornare indietro a quella non derivata...

[enrico9991]

ok, dato che mi sembra di aver capito, vi faccio vedere un'altra equazione differenziale dove devo trovare l'integrale generale:

equazione: y' = 4 a x^3 y

ora vi faccio vedere come ho risolto.

dy/dx = 4 a x^3 y
dy/y = 4 a x^3 dx
logy = a x^4 + C
y = e^(a x^4 + C)
y = ke^(ax^4)

Ditemi se ho fatto giusto oppure se ho sbagliato qualcosa...

CIAO e GRAZIE

[Camillo]

Invece di dirti se è giusto o sbagliato , prova tu a verificare la correttezza del tuo risultato sostituendo nell'equazione differenziale originaria al posto di y la funzione da te trovata e al posto di y' la derivata della funzione trovata.
Se ti viene una identità allora vuol dire che è ok.
Camillo