Integrale gaussiano in 3 dimensioni

[vitunurpo]

Ciao a tutti avrei una piccola domanda circa questo integrale gaussiano...
$ (-itheta(-t))/(2pi)^3 e^(bt)int_(R^3) d^3ke^(ik\cdot x)e^(a||k ||^2 ) $
userei la formula
$ int_-infty^(+infty) e^(-bx^2+cx+d) dx=asqrt(pi/b)e^(c^2/(4b)+d) $

e mi viene
$ (-itheta(-t)e^(bt))/(2pi)^3e^(||x||^2/(4at))sqrt(pi/(-at) $

viene coerente con la soluzione tranne che per una costante: al denominatore dovrei avere un
$ (2pi)^(3/2) $ e un $ root(3)(-2at) $

La formula nel caso di 3 dimensioni è sbagliata?
Grazie

[pilloeffe]

Ciao vitunurpo,

"vitunurpo": La formula nel caso di 3 dimensioni è sbagliata?

No, ma hai sbagliato la formula anche in una dimensione...
In una dimensione la formula corretta è la seguente:

$\int_(-infty)^(infty)e^(-\alpha x^2+\beta x) \text{d}x =\sqrt(\pi/\alpha)e^(\beta^2/(4\alpha)) $

Nel caso in esame $\alpha = - a $ e $\beta = ik $.
Dai un'occhiata anche qui.

[vitunurpo]

Ciao , la formula che ho trovato era data come ''generica'' rispetto a quella che mi hai dato tu.
Anche usandola comunque non mi vanno a posto i fattori...


beta non dovrebbe essere ix anziché ik? L'integrale è in k

[pilloeffe]

"vitunurpo":Ciao , la formula che ho trovato era data come ''generica'' rispetto a quella che mi hai dato tu.

Resta il fatto che è errata, al secondo membro compare una $a$ che non compare al primo membro...

"vitunurpo":beta non dovrebbe essere ix anziché ik? L'integrale è in k

Qui invece hai ragione, infatti analizzando con calma l'integrale triplo si ha:

$ \int_(\RR^3) \text{d}^3 k e^(ik\cdot x)e^(a||k||^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{a(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) + ix k_x + i y k_y + i z k_z} \text{d} k_x \text{d} k_y \text{d} k_z = $
$ = (\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ak_x^2 + ix k_x}\text{d} k_x )(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ak_y^2 + iy k_y}\text{d} k_y)(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ak_z^2 + iz k_z}\text{d} k_z) $

Quindi nel primo integrale $\beta = ix $, nel secondo $\beta = iy $ e nel terzo $\beta = iz $.
Se poi $x = y = z $ allora si ha:

$ (\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ak_x^2 + ix k_x}\text{d} k_x )(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ak_y^2 + iy k_y}\text{d} k_y)(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ak_z^2 + iz k_z}\text{d} k_z) = (\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ak_x^2 + ix k_x}\text{d} k_x )^3 $

ove $\beta = ix $

[vitunurpo]

Giusto!
Riproverò a farlo
Grazie ancora!