Integrale gaussiano con i complessi...
salve a tutti,
è da tanto che non rivedo queste cose e quindi ho la mente un po' annebbiata...
in qualche modo sono giunto a questo integrale qua $\int d\bar{z} dz e^{-\lambda \bar{z}z}$
dove con la barra intendo il complesso coniugato...
a parte che non so se è corretto avere $d\bar{z}dz$ o se basta solo $dz$... e poi come continuo per ottenere il risultato $\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}$ ?
grazie
è da tanto che non rivedo queste cose e quindi ho la mente un po' annebbiata...
in qualche modo sono giunto a questo integrale qua $\int d\bar{z} dz e^{-\lambda \bar{z}z}$
dove con la barra intendo il complesso coniugato...
a parte che non so se è corretto avere $d\bar{z}dz$ o se basta solo $dz$... e poi come continuo per ottenere il risultato $\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}$ ?
grazie
Risposte
"Cantaro86":
salve a tutti,
è da tanto che non rivedo queste cose e quindi ho la mente un po' annebbiata...
in qualche modo sono giunto a questo integrale qua $\int d\bar{z} dz e^{-\lambda \bar{z}z}$
dove con la barra intendo il complesso coniugato...
a parte che non so se è corretto avere $d\bar{z}dz$ o se basta solo $dz$...
Se ci sei arrivato, allora saranno necessari tutti e due. In ogni caso una cosa è calcolare un integrale del tipo [tex]$\int f(z)\ dz$[/tex] e una è calcolare [tex]$\int f(z)\ dz\ d\bar{z}$[/tex]. Tra l'altro ci sono tante cose che non tornano: per prima cosa, dove stai integrando? Seconda cosa, cosa intendi per [tex]$d\bar{z}\ dz$[/tex]? Un prodotto tensoriale? Un prodotto "semplice"? Un prodotto di forme differenziali?
ehhh... lo so che c'è un po di confusione...
io sono partito dal dimostrare che $ \prod_i \int d\bar{z_i}dz e^{-\bar{z_i}\Omega_{ij}z_j}= \sqrt{\frac{\pi}{det\Omega}}
e anche qua non so se c'è qualcosa di sbagliato...
poi sono arrivato all'intergrale che ho scritto prima... ma a quel punto nel esponente avrei un $|z|^2$ mentre la misura è $dzd\bar{z}$... e non so come continuare...
io sono partito dal dimostrare che $ \prod_i \int d\bar{z_i}dz e^{-\bar{z_i}\Omega_{ij}z_j}= \sqrt{\frac{\pi}{det\Omega}}
e anche qua non so se c'è qualcosa di sbagliato...
poi sono arrivato all'intergrale che ho scritto prima... ma a quel punto nel esponente avrei un $|z|^2$ mentre la misura è $dzd\bar{z}$... e non so come continuare...
Cantaro, se vogliamo andare d'accordo, dovresti spiegare un po' meglio quello che stai cercando di fare: cos'è [tex]$\Omega_{ij}$[/tex]? Che intendi con il prodotto? A me pare tu stia cercando di scrivere qualcosa che abbia a che fare con gli invarianti di varietà Kaehleriane (anzi, forse per quelle hermitiane va già bene) ma se non specifichi quello di cui stai parlando non ho idea di come aiutarti.
P.S.: ora che ci penso: quella è una roba di metriche quasi conformi, vero?
P.S.: ora che ci penso: quella è una roba di metriche quasi conformi, vero?
innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto... so che quello che ho scritto non è molto chiaro e ora cercherò di spiegarlo meglio...
$\Omega_{ij}$ è una matrice hermitiana
Allora mi è stato dato per compito di dimostrare che un integrale gaussiano con variabili complesse come quello che ho scritto ha lo stesso risultato di quello che posso ottenere con variabili reali...
$\Omega_{ij}$ è una matrice hermitiana
Allora mi è stato dato per compito di dimostrare che un integrale gaussiano con variabili complesse come quello che ho scritto ha lo stesso risultato di quello che posso ottenere con variabili reali...
e le $z_i$ con i che va da 1 a N sono N variabili complesse
Quando parli di integrale gaussiano, suppongo tu intenda questo, vero:
[tex]$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{i=1}^n x_i^2}\ dx_1\cdots dx_n$[/tex]?
Quindi se ho capito bene vuoi dimostrare che
[tex]$\int_{\mathbb{C}^n} e^{-\bar{z}^i\Omega_{ij} z^j}\ dz^1\wedge d\bar{z}^1\wedge\ldots\wedge dz^n\wedge d\bar{z}^n=\frac{\sqrt{\pi}}{\det \Omega}$[/tex]
dico bene?
[tex]$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{i=1}^n x_i^2}\ dx_1\cdots dx_n$[/tex]?
Quindi se ho capito bene vuoi dimostrare che
[tex]$\int_{\mathbb{C}^n} e^{-\bar{z}^i\Omega_{ij} z^j}\ dz^1\wedge d\bar{z}^1\wedge\ldots\wedge dz^n\wedge d\bar{z}^n=\frac{\sqrt{\pi}}{\det \Omega}$[/tex]
dico bene?
esatto!! solo che per N dimensioni non sono sicuro che si avrebbe una $\sqrt{\pi}$ ma qualcos'altro... ma l'importante per me è vedere che si ottiene qualcosa di proporzionale a $(det\Omega)^{-1}$
grazie ancora
grazie ancora
cercando su internet ho trovato una formula quasi uguale in fondo a questa pagina...
http://www.mathematics.thetangentbundle ... n_integral
ma non c'è dimostrazione purtroppo...
http://www.mathematics.thetangentbundle ... n_integral
ma non c'è dimostrazione purtroppo...
Sì, in effetti è quella. Prova a ragionare come con la dimostrazione del caso reale simmetrico: quello che devi scrivere (in forma reale) è cosa diventa l'integrale, tenendo conto che se hai una matrice hermitiana, pure questa è sempre diagonalizzabile e si ha [tex]$-\bar{z}^i\Omega_{ij} z^j=\lambda_j\bar{z}^j z^j$[/tex] dove i [tex]$\lambda_j$[/tex] sono gli autovalori.
ehh si... quella parte lì l'ho gia fatta e sono giunto all'integrale che ho scritto nel primo post che ho fatto... solo che da li in poi non so come concludere... eppure non sembra difficile... 
su un libro ho trovato $\int \frac{dz d\bar{z}}{2i} e^{\lambda \bar{z}z}=\int du dv e^{\lambda(u^2+v^2)} $
qualcuno sa come spiegare questo passaggio??
qualcuno sa come spiegare questo passaggio??
Prova a scriverti [tex]$z=u+iv$[/tex] e fare due conti.
ce l'ho fatta finalmente...
grazie alla tua notazione (che è anche quella più corretta) ho capito il passaggio misterioso...
infatti viene $dz\wedge d\bar{z}=2idu\wedge dv$ e poi posso integrare sui reali...
grazie dell'aiuto ciampax
grazie alla tua notazione (che è anche quella più corretta) ho capito il passaggio misterioso...
infatti viene $dz\wedge d\bar{z}=2idu\wedge dv$ e poi posso integrare sui reali...
grazie dell'aiuto ciampax
Prego.
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