Integrale gaussiano
Salve a tutti, dovrei risolvere l' integrale tra -inf e +inf di x^2*e^(-x^2/d^2).
Essendo una funzione pari, ho cambiato gli estremi di integrazione in 0 e + inf e moltiplicato per due. Poi ho risolto con il per parti decomponendo la x^2 in x*x in modo da avere da un lato la derivata dell' esponenziale e dall' altro la sola x. Ottengo come risultato l' errorfunction e un prodotto di due funzioni (exp(...)*x) valutate tra 0 e +inf che mi restituiscono la forma indeterminata 0*inf... Come gestisco questa forma indeterminata?
Chiedo scusa per il cattivissimo aspetto aspetto di questo post.
Essendo una funzione pari, ho cambiato gli estremi di integrazione in 0 e + inf e moltiplicato per due. Poi ho risolto con il per parti decomponendo la x^2 in x*x in modo da avere da un lato la derivata dell' esponenziale e dall' altro la sola x. Ottengo come risultato l' errorfunction e un prodotto di due funzioni (exp(...)*x) valutate tra 0 e +inf che mi restituiscono la forma indeterminata 0*inf... Come gestisco questa forma indeterminata?
Chiedo scusa per il cattivissimo aspetto aspetto di questo post.
Risposte
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-x^2} \, \mathrm dx \]
È questo? Se sì, allora lo puoi risolvere passando ad una forma più generale:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{- \alpha x^2} \, \mathrm dx, \quad \alpha > 0 \]
Infatti, notato che
\[ x^2 e^{ - \alpha x^2} = \frac{ \mathrm d}{\mathrm d \alpha} \left ( - e^{- \alpha x^2} \right ) \]
e scambiando integrale e derivata:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{- \alpha x^2} \, \mathrm dx = - \frac{ \mathrm d}{\mathrm d \alpha} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2} \, \mathrm dx \overset{\xi = \sqrt{\alpha} x}{=} - \frac{ \mathrm d}{\mathrm d \alpha} \left ( \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- \xi^2} \, \mathrm d\xi \right ) = - \frac{ \mathrm d}{\mathrm d \alpha} \sqrt{ \frac{ \pi}{\alpha}} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{\alpha^3}} \]
Nel tuo caso, \( \alpha = 1 \), quindi il risultato è \( \dfrac{1}{2} \sqrt{\pi} \).
È questo? Se sì, allora lo puoi risolvere passando ad una forma più generale:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{- \alpha x^2} \, \mathrm dx, \quad \alpha > 0 \]
Infatti, notato che
\[ x^2 e^{ - \alpha x^2} = \frac{ \mathrm d}{\mathrm d \alpha} \left ( - e^{- \alpha x^2} \right ) \]
e scambiando integrale e derivata:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{- \alpha x^2} \, \mathrm dx = - \frac{ \mathrm d}{\mathrm d \alpha} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2} \, \mathrm dx \overset{\xi = \sqrt{\alpha} x}{=} - \frac{ \mathrm d}{\mathrm d \alpha} \left ( \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- \xi^2} \, \mathrm d\xi \right ) = - \frac{ \mathrm d}{\mathrm d \alpha} \sqrt{ \frac{ \pi}{\alpha}} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{\alpha^3}} \]
Nel tuo caso, \( \alpha = 1 \), quindi il risultato è \( \dfrac{1}{2} \sqrt{\pi} \).
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Ciao Bibi,
Il presente solo per segnalarti che questo tipo di integrali sono piuttosto standard e sono già stati trattati diffusamente anche su questo stesso forum, ad esempio qui.
Il presente solo per segnalarti che questo tipo di integrali sono piuttosto standard e sono già stati trattati diffusamente anche su questo stesso forum, ad esempio qui.
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