Integrale gaussiano
vorrei calcolare qualcosa del tipo
$$
I_{i\,j}=\int x_i x_j e^{-\frac{1}{2} \vec{x} \cdot (A \vec{x})} d^n x
$$
dove A è una matrice simmetrica e $\cdot$ è l'usuale prodotto scalare. Se non ho commesso errori, si ha
$$
I_{i\,j}= \sqrt{\frac{(2 \pi)^n}{det(A)}} (A^{-1})_{ij}
$$
Sapete dirmi un modo per verificare se la formula che ho ottenuto è corretta?
$$
I_{i\,j}=\int x_i x_j e^{-\frac{1}{2} \vec{x} \cdot (A \vec{x})} d^n x
$$
dove A è una matrice simmetrica e $\cdot$ è l'usuale prodotto scalare. Se non ho commesso errori, si ha
$$
I_{i\,j}= \sqrt{\frac{(2 \pi)^n}{det(A)}} (A^{-1})_{ij}
$$
Sapete dirmi un modo per verificare se la formula che ho ottenuto è corretta?
Risposte
Non so' molto riguardo quei tipi di integrale, ma nel caso che conosco io, per verificare che un integrale sia corretto basta fare la derivata della primitiva e verificare che sia uguale alla funzione sotto l'integrale.
beh, il problema è che la primitiva non la si sa calcolare 
Non dovrebbe essere quella a secondo membro della seconda equazione che hai scritto?
"CaMpIoN":
Non dovrebbe essere quella a secondo membro della seconda equazione che hai scritto?
Perchè dovrebbe esserlo? Vedi che l'integrale è definito, anche se non ho esplicitato il dominio di integrazione ($R^n$).
vabbhe ho fatto qualche prova numerica e sembra essere corretta. Grazie per le risposte.
Quando si affrontano questo tipo di problemi, un buon metodo è quello di vedere cosa accade con i casi semplici e da lì cercare di generalizzare. Tra l'altro, ad occhio, se l'integrale è esteso a tutto $RR^n$ mi pare che, oltre alla richiesta di matrice simmetrica, essa debba pure essere definita positiva, altrimenti la funzione non mi pare integrabile.
@ciampax naturalmente quello che dici è vero. Però se ci pensi l'unica condizione stringente è che $A$ sia simmetrica. In genere $A$ è complessa. Nel caso in cui la sua parte reale non è definita positiva, la formula può essere interpretata mediante continuazione analitica.
Con l'intento di fare qualcosa di utile per chi legge, illustro brevemente il modo in cui l'ho dimostrato (non so se ce ne sia qualche altro più rapido). Io sono partito dalla funzione
$$
f(\vec{J}) = \int e^{ -\frac{1}{2} \vec{x} \cdot (A \vec{x})+ i \vec{J} \cdot \vec{x}} d^n x
$$
Calcolando l'integrale si ha (vedi qui http://en.wikipedia.org/wiki/Common_integrals_in_quantum_field_theory)
$$
f(\vec{J}) =\sqrt{\frac{(2 \pi)^n}{det(A)}} e^{-\frac{1}{2} \vec{J} \cdot (A^{-1} \vec{J})}
$$
Allora è chiaro che
$$
I_{i\,j} = - \frac{\partial^2}{\partial J_i \partial J_j} f(\vec{J}) \bigg|_{\vec{J}=\vec{0}} = \sqrt{\frac{(2 \pi)^n}{det(A)}} (A^{-1})_{ij}
$$
Grazie delle risposte.
$$
f(\vec{J}) = \int e^{ -\frac{1}{2} \vec{x} \cdot (A \vec{x})+ i \vec{J} \cdot \vec{x}} d^n x
$$
Calcolando l'integrale si ha (vedi qui http://en.wikipedia.org/wiki/Common_integrals_in_quantum_field_theory)
$$
f(\vec{J}) =\sqrt{\frac{(2 \pi)^n}{det(A)}} e^{-\frac{1}{2} \vec{J} \cdot (A^{-1} \vec{J})}
$$
Allora è chiaro che
$$
I_{i\,j} = - \frac{\partial^2}{\partial J_i \partial J_j} f(\vec{J}) \bigg|_{\vec{J}=\vec{0}} = \sqrt{\frac{(2 \pi)^n}{det(A)}} (A^{-1})_{ij}
$$
Grazie delle risposte.
PS giusto un'osservazione banale: data una matrice arbitraria $A_0$, si può sempre scrivere
$$
\vec{x}^t A_0 \vec{x} = \vec{x}^t A \vec{x}
$$
con $A=\frac{A_0^t+A_0}{2}$ matrice simmetrica.
$$
\vec{x}^t A_0 \vec{x} = \vec{x}^t A \vec{x}
$$
con $A=\frac{A_0^t+A_0}{2}$ matrice simmetrica.
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