Integrale funzione razionale fratta

[StefanoMDj]

ciao ragazzi, devo studiare questo integrale

$\int dx/(x^2(x+1))$

io lo scomporrei in $A/x+B/x+C/(x+1)$ ma il mio libro suggerisce $A/x+B/x^2+C/(x+1)$

ma la seconda scomposizione non è sbagliata? cioè arriverebbe a $x^3(x+1)$?

però poi andando avanti con i calcoli a me risulta $Ax^2+Ax+Bx^2+Bx+Cx^2$ da mettere a sistema come

$A+B+C=0$
$A+B=1$ però mi manca un'equazione essendo a tre incognite!

mentre con il sistema del libro si arriva a $Ax^2+Ax^3+Bx+Bx^2+Cx^3$

$A+C=0$
$A+B=0$
$B=1$ che in effetti fa tornare tutto quanto.....la mia è domanda come mai ha effettuato la scomposizione$A/x+B/x^2+C/(x+1)$ invece di $A/x+B/x+C/(x+1)$....grazie!

[wnvl]

Il libro è corretto.

Nel caso \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{{x^{{3}}}{\left({x}+{1}\right)}} \) hai
\(\displaystyle \displaystyle \frac{{A}}{{x}}+\frac{{B}}{{{x}}^{{2}}}+\frac{{C}}{{{x}}^{{3}}}+\frac{{D}}{{{x}+{1}}} \)

[walter891]

quando nella scomposizione ci sono dei fattori multipli, nel tuo caso $x^2$, la regola dice di considerarli con tutte le potenze fino a quella dell'ordine in cui sono presenti: quindi se $x$ ha ordine 2 ti occorrono $x^1=x$ e $x^2$
non c'entra nulla il fatto che moltiplicando otterresti un polinomio diverso

[StefanoMDj]

ah scusate il fatto è che sul libro non l'ho trovato o probabilmente era accennato a caso in qualche paragrafo...grazie per la spiegazione!