Integrale funzione razionale fratta
$\int (x^3-x^2+3)/(2x^2-2x+1) $
Qualcuno saprebbe dirmi come calcolare questo integrale?
Ho provato facendo la divisione tra polinomi, ma poi mi blocco quando bisogna andare a scomporre $2x^2-2x+1$ ... Non so proprio come si potrebbe fare...
Qualcuno saprebbe dirmi come calcolare questo integrale?
Ho provato facendo la divisione tra polinomi, ma poi mi blocco quando bisogna andare a scomporre $2x^2-2x+1$ ... Non so proprio come si potrebbe fare...
Risposte
facendo la divisione tra polinomi a cosa arrivi?
Arrivo a $1/2x + (-1/2x +3)/ (2x^2-2x+1)$ che però non mi serve a niente se non riesco a scomporre il denominatore...
Ma quel polinomio ha $Delta$ negativo,e dunque è irriducibile(almeno in $RR[x]$..):
forse è il caso,se non ti vengono idee e disponi unicamente dei mezzi forniti da Analisi I,
di cercare sul tuo testo un argomento il cui titolo potrebbe essere
"Integrazione indefinita di funzioni razionali fratte del tipo $(dx+e)/(ax^2+bx+c)$"(o simili..),
al sottoparagrafo $Delta=b^2-4ac<0$.
Saluti dal web.
forse è il caso,se non ti vengono idee e disponi unicamente dei mezzi forniti da Analisi I,
di cercare sul tuo testo un argomento il cui titolo potrebbe essere
"Integrazione indefinita di funzioni razionali fratte del tipo $(dx+e)/(ax^2+bx+c)$"(o simili..),
al sottoparagrafo $Delta=b^2-4ac<0$.
Saluti dal web.
puoi scrivere salvo errori di calcolo.
\begin{align}\frac{-\frac{1}{2}x+3}{2x^2-2x+1}&=-\int \frac{ \frac{1}{2}x }{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\int \frac{ 4x }{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\int \frac{ 4x-2+2 }{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\int \frac{ d\left(2x^2-2x+1\right) }{2x^2-2x+1}\,\,dx-\frac{1}{8}\int \frac{2 }{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)-\frac{1}{4}\int \frac{ 1}{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{4}\int \frac{ 1}{2x^2-2x+1}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{4}\int \frac{ 1}{2\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ \frac{1}{4}\right]}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{8}\int \frac{ 1}{ \left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ \frac{1}{4}\right]}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{8}\int \frac{ 1}{ \frac{1}{4}\left[\left(\frac{x-\frac{1}{2}}{ \frac{1}{2}}\right)^2+1\right]}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{2}\int \frac{ 1}{ \left[\left(2x-1\right)^2+1\right]}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{4}\int \frac{ d(2x+1)}{ \left[\left(2x-1\right)^2+1\right]} \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{4}\arctan (2x-1) +c \\
\end{align}
\begin{align}\frac{-\frac{1}{2}x+3}{2x^2-2x+1}&=-\int \frac{ \frac{1}{2}x }{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\int \frac{ 4x }{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\int \frac{ 4x-2+2 }{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\int \frac{ d\left(2x^2-2x+1\right) }{2x^2-2x+1}\,\,dx-\frac{1}{8}\int \frac{2 }{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)-\frac{1}{4}\int \frac{ 1}{2x^2-2x+1}\,\,dx+3\int\frac{1}{2x^2-2x+1}\,\,dx\\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{4}\int \frac{ 1}{2x^2-2x+1}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{4}\int \frac{ 1}{2\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ \frac{1}{4}\right]}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{8}\int \frac{ 1}{ \left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ \frac{1}{4}\right]}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{8}\int \frac{ 1}{ \frac{1}{4}\left[\left(\frac{x-\frac{1}{2}}{ \frac{1}{2}}\right)^2+1\right]}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{2}\int \frac{ 1}{ \left[\left(2x-1\right)^2+1\right]}\,\,dx \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{4}\int \frac{ d(2x+1)}{ \left[\left(2x-1\right)^2+1\right]} \\
& =-\frac{1}{8}\ln\left(2x^2-2x+1\right)+\frac{11}{4}\arctan (2x-1) +c \\
\end{align}
Grazie, mi era sfuggito quel paragrafo e tentavo di risolverlo con l'altro metodo 
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