Integrale funzione razionale

[Ian2]

Devo risolvere il seguente integrale indefinito:

$ int_()^() 1/(x^4+1) dx $

Ho provato a moltiplicare numeratore e denominatore per $x^4-1$ in modo da ricondurmi alla forma

$ (x^4-1)/((x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)) $

e poi a risolvere il sistema associato ad

$ A/(x^4+1) +B/(x^2+1) + C/(x+1) + D/(x-1)=(x^4-1)/((x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1))$

in modo da ottenere un'integrazione più semplice.
Ma pare che tutto ciò non mi porti a nulla di concreto, facendomi anzi tornare al punto di partenza.
Voi come fareste?

Grazie mille.

[Lo_zio_Tom]

$1/(x^4+1)=((x^2+1)/x^2-(x^2-1)/x^2)/(2(1+x^4)/x^2)$

$=1/2 ((1+1/x^2)-(1-1/x^2))/(x^2+1/x^2) $

Scomponi in due...poi

$ t=x+1/x $ e $ u=x-1/x $


Essendo : $ x^2+1/x^2= t^2-2=u^2+2$

A parte costanti moltiplicative, l' integrale si scompone in $1/(t^2-2 )$ e $1/(u^2+2) $; uno facilmente per fratti semplici e l'altro è un'arcotangente

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Io proverei in questo modo:

$int1/(x^4+1)dx=int1/((x^2+1)^2-2x^2)dx=int1/([(x^2+1)-sqrt(2)x]*[(x^2+1)+sqrt(2)x])dx$

poi cercherei quattro costanti $A,B,C,D$ tali che si abbia

$1/((x^2-sqrt(2)x+1)*(x^2+sqrt(2)x+1))=(Ax+B)/(x^2-sqrt(2)x+1)+(Cx+D)/(x^2+sqrt(2)x+1)$

Non ne sono sicuro, ma dovrebbe funzionare.

Saluti.