Integrale funzione PARTICOLARE

[Lazar1]

Mi è sorto questo curioso quesito:

Sia $f(x)$ così definita nell'intervallo $[-1;1]$:
$f(x)=0$ se $x$ è irrazionale
$f(x)=1$ se $x$ è razionale

E' possibile calcolare $I=\int_{-1}^{1} f(x) dx$ ?
Se sì quanto vale??

Sicuramente direi che $-2

Grazie in anticipo a tutti!!

[@melia]

Potrei dire una corbelleria perché i miei ricordi a riguardo sono molto sbiaditi, ma direi che secondo Riemann non è integrabile, però lo è secondo Lebesgue e l'integrale vale 0

[maurer]

No, la funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann in nessun intervallo reale...
Infatti sia $u(x)$ una funzione a gradini che minora $f(x)$ in $[-1,1]$; allora al massimo $u(x)=0$ per la densità dei razionali nei reali; d'altra parte se $v(x)$ è una funzione a gradini che maggiora $f(x)$ di $[-1,1]$ allora al minimo essa è la funzione costante $v(x)=1$; quindi non è possibile rendere contigue la classe degli integrali delle funzioni a gradini che minorano la $f(x)$ e quella degli integrali delle funzioni a gradini che la maggiorano; di conseguenza cade la definizione di integrabilità secondo Riemann (oppure, se sei più abituato a sentir parlare di somma inferiore e somma superiore, questi due valori non possono coincidere)...
Sono stato abbastanza chiaro?

[@melia]

Ricordavo bene http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Lebesgue

[Lazar1]

Quindi usando la nozione classica di integrale (quella di Riemann) non è integrabile mentre secondo Lebesgue $I=0$.
Giusto?

[@melia]

Esatto.

[Lazar1]

Perfetto,grazie 1000 a tutti 3 due!