Integrale funzionale lineare
Ragazzi per piacere mi spiegate che significa che l'integrale è un funzionale lineare?
Risposte
Semplicemente che valgono le due proprietà
$\int_a^b (f(x) +g(x) )dx =\int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
$\int_a^b \lambda f(x) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx$ (per ogni $\lambda\in\RR$
(come in una normale applicazione lineare)
Paola
$\int_a^b (f(x) +g(x) )dx =\int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
$\int_a^b \lambda f(x) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx$ (per ogni $\lambda\in\RR$
(come in una normale applicazione lineare)
Paola
E' una cosa che m'ha fatto saltare le rotelle prima di capirla...
Guarda, cos'è un funzionale lineare?
Un funzionale lineare è un'applicazione che ad una funzione associa un valore reale e che gode delle proprietà della linearità.
Quindi, pensa l'integrale in questo modo. L'integrale è un funzionale che
ad una funzione $f(x)$
associa una quantità reale che è $\int_a^b f(x)dx$.
Puoi chiamarlo anche $I$ se ti fa piacere:
$I : C^0([a,b]) \mapsto \RR$, $f(x) \mapsto \int_a^b f(x) dx$.
Il "passo mentale" da capire è proprio il fatto che
- il dominio del funzionale è una funzione
- alla funzione del dominio associa un numero "reale" perché l'integrale definito è un numero reale!
Le proprietà di linearità sono soddisfatte in modo elementare ricordandosi delle proprietà dell'integrale viste ad analisi I.
Guarda, cos'è un funzionale lineare?
Un funzionale lineare è un'applicazione che ad una funzione associa un valore reale e che gode delle proprietà della linearità.
Quindi, pensa l'integrale in questo modo. L'integrale è un funzionale che
ad una funzione $f(x)$
associa una quantità reale che è $\int_a^b f(x)dx$.
Puoi chiamarlo anche $I$ se ti fa piacere:
$I : C^0([a,b]) \mapsto \RR$, $f(x) \mapsto \int_a^b f(x) dx$.
Il "passo mentale" da capire è proprio il fatto che
- il dominio del funzionale è una funzione
- alla funzione del dominio associa un numero "reale" perché l'integrale definito è un numero reale!
Le proprietà di linearità sono soddisfatte in modo elementare ricordandosi delle proprietà dell'integrale viste ad analisi I.
Un paio di correzioni al post precedente:
L'ultima frase significa che l'applicazione \(I\) soddisfa la seguente proprietà:
\[
I(\alpha\ f+\beta\ g)=\alpha\ I(f) + \beta\ I(g)
\]
per ogni \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) ed \(f,g\in C([a,b])\).
"Zero87":
Puoi chiamarlo anche $I$ se ti fa piacere:
$I : C^0([a,b]) \mapsto \RR$, $f(x) \mapsto \int_a^b f(x) dx$.
Il "passo mentale" da capire è proprio il fatto che
- il dominio del funzionale è uno spazio di funzioni
- il funzionale associa ad ogni elemento (che è una funzione!) del suo dominio un numero "reale" perché l'integrale definito è un numero reale!
Le proprietà di linearità sono soddisfatte in modo elementare ricordandosi delle proprietà dell'integrale viste ad analisi I.
L'ultima frase significa che l'applicazione \(I\) soddisfa la seguente proprietà:
\[
I(\alpha\ f+\beta\ g)=\alpha\ I(f) + \beta\ I(g)
\]
per ogni \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) ed \(f,g\in C([a,b])\).
"gugo82":[/quote]
Un paio di correzioni al post precedente:
[quote="Zero87"]
- il dominio del funzionale è uno spazio di funzioni
Questa era proprio una svista, si era capito che intendessi questo anche se ho scritto altro!
Le proprietà non le avevo riscritte perché le aveva scritte prime_number.
Thanks gugo82!
Grazie a tutti! @gugo82 ti ho citato nel post dell'olomorfia di quella slide ricordi? ti ho citato nel suo libro come spiega quella cosa ..se ti va , dagli un' occhiata! viewtopic.php?f=36&t=109188
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