Integrale fratto con logaritmo e radice
Buonasera,
ho questo integrale di una prova passata del mio esame.
$\int_0^1(log^2(x))/root(3)xdx$
Ho posto:
$t=logx$
quindi:
$dt/dx=1/x\rArrdx=xdt\rArrdx=e^tdt$
$root(3)x=e^t^1/3=e^(t/3)$
quindi:
$\int_0^1(log^2(x))/root(3)xdx=\int_0^1(t^2)/e^(t/3)e^tdt=\int_0^1(t^2)e^(t/2)dt$
A questo punto però, nonostante abbia semplificato abbastanza l'integrale, non so più come procedere.
Ho fatto errori o non è questa la strada da seguire?
ho questo integrale di una prova passata del mio esame.
$\int_0^1(log^2(x))/root(3)xdx$
Ho posto:
$t=logx$
quindi:
$dt/dx=1/x\rArrdx=xdt\rArrdx=e^tdt$
$root(3)x=e^t^1/3=e^(t/3)$
quindi:
$\int_0^1(log^2(x))/root(3)xdx=\int_0^1(t^2)/e^(t/3)e^tdt=\int_0^1(t^2)e^(t/2)dt$
A questo punto però, nonostante abbia semplificato abbastanza l'integrale, non so più come procedere.
Ho fatto errori o non è questa la strada da seguire?
Risposte
Ciao,
Innanzitutto ricorda sempre di cambiare gli estremi di integrazione quando effettui un cambio di variabile negli integrali definiti:
$x->0 => t-> -\infty$
$x->1 => t-> 0$
Hai poi commesso un piccolo errore nella semplificazione degli esponenziali. Ti dovresti trovare:
$\int_-\infty^0(t^2)e^(2/3t)dt$
Che puoi risolvere andando per parti due volte, scalando il grado del polinomio $t^2$.
Innanzitutto ricorda sempre di cambiare gli estremi di integrazione quando effettui un cambio di variabile negli integrali definiti:
$x->0 => t-> -\infty$
$x->1 => t-> 0$
Hai poi commesso un piccolo errore nella semplificazione degli esponenziali. Ti dovresti trovare:
$\int_-\infty^0(t^2)e^(2/3t)dt$
Che puoi risolvere andando per parti due volte, scalando il grado del polinomio $t^2$.
io avrei fatto 2 volte per parti
allora procedo con l'integrale indefinito $ \int (\ln^2(x))/(root(3)(x) )dx $
allora pongo $ f(x)=\ln^2(x) \to f'(x)=(2\ln(x))/(x) $ mentre $ g'(x)=x^(-1/3) \to g(x)=3/2 x^(2/3) $
quindi si ha che
$ 3/2 x^(2/3)\ln^2(x)-\int 3/2 x^(2/3) (2\ln(x))/xdx=3/2x^(2/3)\ln^2(x)-3\int x^(-1/3)\ln(x)dx $
ok a questo punto come prima $ f(x)=\ln(x)\to f'(x)=1/x $ mentre $ g'(x)=x^(-1/3)\to g(x)=3/2 x^(2/3) $
quindi
$ 3/2x^(2/3)\ln^2(x)-3\int x^(-1/3)\ln(x)dx=3/2 x^(2/3)\ln^2(x)-3(3/2x^(2/3)ln(x)-\int 3/2x^(2/3)1/x dx) $
a questo punto ti rimane $ \int 3/2 x^(2/3)1/xdx=3/2\int x^(-1/3)dx =... $
allora procedo con l'integrale indefinito $ \int (\ln^2(x))/(root(3)(x) )dx $
allora pongo $ f(x)=\ln^2(x) \to f'(x)=(2\ln(x))/(x) $ mentre $ g'(x)=x^(-1/3) \to g(x)=3/2 x^(2/3) $
quindi si ha che
$ 3/2 x^(2/3)\ln^2(x)-\int 3/2 x^(2/3) (2\ln(x))/xdx=3/2x^(2/3)\ln^2(x)-3\int x^(-1/3)\ln(x)dx $
ok a questo punto come prima $ f(x)=\ln(x)\to f'(x)=1/x $ mentre $ g'(x)=x^(-1/3)\to g(x)=3/2 x^(2/3) $
quindi
$ 3/2x^(2/3)\ln^2(x)-3\int x^(-1/3)\ln(x)dx=3/2 x^(2/3)\ln^2(x)-3(3/2x^(2/3)ln(x)-\int 3/2x^(2/3)1/x dx) $
a questo punto ti rimane $ \int 3/2 x^(2/3)1/xdx=3/2\int x^(-1/3)dx =... $
Ho capito, grazie ad entrambi 
Ho un solo dubbio: nel momento in cui opero per sostituzione, quando vado a risolvere ottengo
$[\text(risultato(t))]_-\infty^0$
nel momento in cui ripristino logx=t, devo anche modificare i valori degli estremi di integrazione? cioè devo fare:
$[\text(risultato(x))]_0^1$
Ho un solo dubbio: nel momento in cui opero per sostituzione, quando vado a risolvere ottengo
$[\text(risultato(t))]_-\infty^0$
nel momento in cui ripristino logx=t, devo anche modificare i valori degli estremi di integrazione? cioè devo fare:
$[\text(risultato(x))]_0^1$
Ciao lil_lakes,
Io avrei fatto come hai fatto tu, ma considerando l'integrale indefinito:
$ \int (log^2(x))/root(3)xdx = int t^2 e^{2/3 t} dt $
L'ultimo integrale è del tipo $\int t^2 e^{at} dt $ che si integra due volte per parti come ti hanno già scritto tutti coloro che mi hanno preceduto, con l'intento di abbassare il grado di $t^2 $
Alla fine si ottiene:
$\int t^2 e^{at} dt = e^{at}/a^3 (a^2 t^2 - 2at + 2) + c $
Nel caso in esame $a = 2/3 $, per cui si ha:
$ \int t^2 e^{2/3 t} dt = e^{2/3 t}/(8/27) (4/9 t^2 - 4/3 t + 2) + c = e^{2/3 t}/(8) (12 t^2 - 36t + 54) + c = $
$ = e^{2/3 t} (3/2 t^2 - 9/2 t + 27/4) + c = 3/4 e^{2/3 t} (2 t^2 - 6 t + 9) + c $
Ricordando che $t = log x $, in definitiva si ha:
$ \int (log^2(x))/root(3)xdx = 3/4 x^{2/3}(2 log^2 x - 6 log x + 9) + c $
Quindi si ha:
$ \int_0^1 (log^2(x))/root(3)xdx = [3/4 x^{2/3}(2 log^2 x - 6 log x + 9)]_0^1 = 27/4 $
Io avrei fatto come hai fatto tu, ma considerando l'integrale indefinito:
$ \int (log^2(x))/root(3)xdx = int t^2 e^{2/3 t} dt $
L'ultimo integrale è del tipo $\int t^2 e^{at} dt $ che si integra due volte per parti come ti hanno già scritto tutti coloro che mi hanno preceduto, con l'intento di abbassare il grado di $t^2 $
Alla fine si ottiene:
$\int t^2 e^{at} dt = e^{at}/a^3 (a^2 t^2 - 2at + 2) + c $
Nel caso in esame $a = 2/3 $, per cui si ha:
$ \int t^2 e^{2/3 t} dt = e^{2/3 t}/(8/27) (4/9 t^2 - 4/3 t + 2) + c = e^{2/3 t}/(8) (12 t^2 - 36t + 54) + c = $
$ = e^{2/3 t} (3/2 t^2 - 9/2 t + 27/4) + c = 3/4 e^{2/3 t} (2 t^2 - 6 t + 9) + c $
Ricordando che $t = log x $, in definitiva si ha:
$ \int (log^2(x))/root(3)xdx = 3/4 x^{2/3}(2 log^2 x - 6 log x + 9) + c $
Quindi si ha:
$ \int_0^1 (log^2(x))/root(3)xdx = [3/4 x^{2/3}(2 log^2 x - 6 log x + 9)]_0^1 = 27/4 $
"lil_lakes":
Ho capito, grazie ad entrambi
Ho un solo dubbio: nel momento in cui opero per sostituzione, quando vado a risolvere ottengo
$[\text(risultato(t))]_-\infty^0$
nel momento in cui ripristino logx=t, devo anche modificare i valori degli estremi di integrazione? cioè devo fare:
$[\text(risultato(x))]_0^1$
A piacere tuo, puoi o lasciare il risultato in $t$ e valutare il risultato dell'integrale con gli estremi di integrazione opportunamente modificati, oppure, senza mai modificare gli estremi di integrazione, passi a un integrale indefinito in $t$, lo risolvi, riporti il risultato nuovamente in $x$ e a quel punto sostituisci gli estremi di integrazione originali (esattamente, in questo caso, come nella risposta di pilloeffe)
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