Integrale fratto con funzioni trigonometriche
Salve, ho trovato problemi nel risolvere questi tipi di integrali:
Ho riportato di seguito un integrale di esempio e i vari passaggi che ho fatto:
$\int_{0}^{2\pi} (1)/(2+sinx) dx$
sostituzione tan(x/2)=y e ottengo
$\int ((1)/(2+(2y/(y^(2)+1)))) * 2/(1+y^(2))dy$
tramite vari passaggi arrivo a
$\int (1)/(y^(2)+y+1) dy$
delta negativo =>
$ 1/(ah)arctan (x-k)/h$
=>
$ (2/sqrt3)arctan (y+1/2)/(sqrt3/2) $
torno alla x:
$(2/sqrt3)arctan (tan(x/2)+1/2)/(sqrt3/2)|_{0}^{2pi}$
ma il risultato dovrebbe essere $(2pi)/sqrt3$
e non capisco dove ho sbagliato. qualcuno potrebbe magari indicarmi un procedimento alternativo?
Ho riportato di seguito un integrale di esempio e i vari passaggi che ho fatto:
$\int_{0}^{2\pi} (1)/(2+sinx) dx$
sostituzione tan(x/2)=y e ottengo
$\int ((1)/(2+(2y/(y^(2)+1)))) * 2/(1+y^(2))dy$
tramite vari passaggi arrivo a
$\int (1)/(y^(2)+y+1) dy$
delta negativo =>
$ 1/(ah)arctan (x-k)/h$
=>
$ (2/sqrt3)arctan (y+1/2)/(sqrt3/2) $
torno alla x:
$(2/sqrt3)arctan (tan(x/2)+1/2)/(sqrt3/2)|_{0}^{2pi}$
ma il risultato dovrebbe essere $(2pi)/sqrt3$
e non capisco dove ho sbagliato. qualcuno potrebbe magari indicarmi un procedimento alternativo?
Risposte
L'arcotangente "generatrice", mi viene differente
$2/(\sqrt(3)) arctan((2(y+1/2))/(\sqrt(3)))$
Per il metodo, ci arrivo in un modo leggermente differente con una formula meno diretta. Una volta appurato che, se il $\Delta$ è negativo, vuol dire che il nostro trinomio si può scrivere in forma di somma di quadrati
$\int \frac{dy}{(y^2+y+1)}=\int \frac{dy}{(y+1/2)^2+3/4}$
con la formula
$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=1/a arctan(x/a)+C$[nota]Si potrebbe discutere su questa formula nel caso in cui si abbia un quadrato del tipo $(2y+1)^2$ che presenta un coefficiente davanti alla $y$. In realtà nel procedimento, basta toglierlo dal quadrato e incorporarlo nell'$a$. $(2y+1)^2=(2(y+1/2))^2=4(y+1/2)^2$ e poi dividere tutto per $4$ per avere il quadrato "isolato" e con il coefficiente della $y$ pari a 1.
[/nota]
che ricordo dai tempi dello scientifico, arrivo a
$2/(\sqrt(3)) arctan((2y+1)/(\sqrt(3)))$.
Non che ti dico di fidarti dei miei calcoli, ma comunque ti invito a ricontrollare i tuoi perché non si sa mai.
$2/(\sqrt(3)) arctan((2(y+1/2))/(\sqrt(3)))$
Per il metodo, ci arrivo in un modo leggermente differente con una formula meno diretta. Una volta appurato che, se il $\Delta$ è negativo, vuol dire che il nostro trinomio si può scrivere in forma di somma di quadrati
$\int \frac{dy}{(y^2+y+1)}=\int \frac{dy}{(y+1/2)^2+3/4}$
con la formula
$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=1/a arctan(x/a)+C$[nota]Si potrebbe discutere su questa formula nel caso in cui si abbia un quadrato del tipo $(2y+1)^2$ che presenta un coefficiente davanti alla $y$. In realtà nel procedimento, basta toglierlo dal quadrato e incorporarlo nell'$a$. $(2y+1)^2=(2(y+1/2))^2=4(y+1/2)^2$ e poi dividere tutto per $4$ per avere il quadrato "isolato" e con il coefficiente della $y$ pari a 1.
[/nota]che ricordo dai tempi dello scientifico, arrivo a
$2/(\sqrt(3)) arctan((2y+1)/(\sqrt(3)))$.
Non che ti dico di fidarti dei miei calcoli, ma comunque ti invito a ricontrollare i tuoi perché non si sa mai.
scusa, ho sbagliato io a trascrivere, mi sono mangiata una parentesi:
il passaggio corretto è così:
delta negativo =>
$ 1/(ah)arctan ((x-k)/h) $
=>
$ (2/sqrt3)arctan ((y+1/2)/(sqrt3/2)) $
( che è equivalente a quella che hai scritto tu )
torno alla x:
$ (2/sqrt3)arctan ((tan(x/2)+1/2)/(sqrt3/2))|_{0}^{2pi} $
ma il risultato dovrebbe essere $ (2pi)/sqrt3 $
e non capisco dove ho sbagliato.
il passaggio corretto è così:
delta negativo =>
$ 1/(ah)arctan ((x-k)/h) $
=>
$ (2/sqrt3)arctan ((y+1/2)/(sqrt3/2)) $
( che è equivalente a quella che hai scritto tu )
torno alla x:
$ (2/sqrt3)arctan ((tan(x/2)+1/2)/(sqrt3/2))|_{0}^{2pi} $
ma il risultato dovrebbe essere $ (2pi)/sqrt3 $
e non capisco dove ho sbagliato.
Sono spiazzato, non capisco proprio dove sia l'errore...! 
L'ho anche rifatto più volte, ma mi sfugge qualcosa; anche perché a lasciare le formule parametriche, l'integrale mi viene tra $0$ e $0$.
L'ho anche rifatto più volte, ma mi sfugge qualcosa; anche perché a lasciare le formule parametriche, l'integrale mi viene tra $0$ e $0$.
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