Integrale fratto ambiguo
Buona sera a tutti,
mi sono imbattuto in questo integrale:
$int_1^x (3^t)/(3+t) dt$
E devo dire che non riesco a capire come risolverlo.
Ho provato con la seguente sostituzione:
$3^t = x$
$t=log3(x)$ (logaritmo in base 3 di x)
$dt = 1/(xln3)dx$
Ottengo quindi:
$int_1^x x/(3+log3(x) ) . 1/(xln3)$
Semplifico e porto fuori e ottengo:
$1/(ln3) int_1^x 1/(3+log3(x) ) dx$
Arrivato qui mi fermo.
Non sò come andare avanti.
Qualche anima pia può darmi un piccola spintarella?
Grazie mille
Ciao
Paolo
mi sono imbattuto in questo integrale:
$int_1^x (3^t)/(3+t) dt$
E devo dire che non riesco a capire come risolverlo.
Ho provato con la seguente sostituzione:
$3^t = x$
$t=log3(x)$ (logaritmo in base 3 di x)
$dt = 1/(xln3)dx$
Ottengo quindi:
$int_1^x x/(3+log3(x) ) . 1/(xln3)$
Semplifico e porto fuori e ottengo:
$1/(ln3) int_1^x 1/(3+log3(x) ) dx$
Arrivato qui mi fermo.
Non sò come andare avanti.
Qualche anima pia può darmi un piccola spintarella?
Grazie mille
Ciao
Paolo
Risposte
non so il perché ma mi puzza di funzione integrale e NON che è un integrale!
mi è venuto questo dubbio poiché gli estremi dell'integrazione sono tra 0 e x
per cui suppongo che la tua funzione sia questa $ F(x)=\int_(1)^(x)(3^t)/(3+t)dt $
correggimi se sbaglio..
ecco il più delle volte non si riesce a trovare una primitiva.. dimmi qual è la richiesta dell'esercizio!..
mi è venuto questo dubbio poiché gli estremi dell'integrazione sono tra 0 e x
per cui suppongo che la tua funzione sia questa $ F(x)=\int_(1)^(x)(3^t)/(3+t)dt $
correggimi se sbaglio..
ecco il più delle volte non si riesce a trovare una primitiva.. dimmi qual è la richiesta dell'esercizio!..
Ciao,
la richiesta è risolvere la seguente funzione integrale:
$F(x) = int_1^x 3^t/(3+t) dt = -x$
Scusa l'incompletezza.
Grazie mille
Paolo
la richiesta è risolvere la seguente funzione integrale:
$F(x) = int_1^x 3^t/(3+t) dt = -x$
Scusa l'incompletezza.
Grazie mille
Paolo
"kipliko":
Ciao,
la richiesta è risolvere la seguente funzione integrale:
$F(x) = int_1^x 3^t/(3+t) dt = -x$
Scusa l'incompletezza.
Grazie mille
Paolo
cioè devi dire quando $F(x)$ è uguale a $-x$ ?..
comunque normalmente gli esercizi con la funzione integrale bisogna farne la derivata prima..
con questa formula (l'avevo vista ad esercitazione)
$ d/dx (F(x)=\int_(\alpha(x))^(\beta(x))f(t)dt)=f(\beta(t))\cdotd/dx (\beta(x))-f(\alpha(x))\cdotd/dx (\alpha(x)) $
Grazie mille per la risposta,
ma quindi se mi trovo di fronte ad una funzione integrale altro non devo fare che studiare la funzione come farei per una qualunque, quindi segno, monotonia, limiti.
L'unica differenza risiede nel fatto che la derivata è la funzione stessa giusto? O meglio la funzione * la derivata di x (nel mio caso).
L'unica cosa che non riesco a capire è come studiare la convergenza senza conoscere la primitiva associata.
Potresti aiutarmi a capire come procedere?
Grazie mille
Paolo
ma quindi se mi trovo di fronte ad una funzione integrale altro non devo fare che studiare la funzione come farei per una qualunque, quindi segno, monotonia, limiti.
L'unica differenza risiede nel fatto che la derivata è la funzione stessa giusto? O meglio la funzione * la derivata di x (nel mio caso).
L'unica cosa che non riesco a capire è come studiare la convergenza senza conoscere la primitiva associata.
Potresti aiutarmi a capire come procedere?
Grazie mille
Paolo
Se il tuo scopo è calcolare la divergenza puoi notare che $f(x)=F'(x)>0$ per ogni x nell'intervallo di integrazione e inoltre è crescente, quindi sicuramente diverge a $+oo$
Ciao,
in realtà ho tre domande:
1) Nel caso in cui l'esercizio mi avesse chiesto di calcolare una primitiva come avrei dovuto procedere? Avrei dovuto dire che non esiste una primitiva della funzione?
2) Stò studiando la convergenza degli integrali impropri di prima e seconda specie e, solito problema, la primitiva sembra essere necessaria per capire a cosa converge/diverge. Come devo comportarmi con le funzioni per capire se convergono/divergono se non so trovare una primitiva?
3) Qualche anima pia mi può spiegare la tecnica (se esiste) per trovare un maggiorante di una funzione integrale (per esempio qual'è un maggiorante della funzione data in esempio?).
Grazie mille
Paolo
in realtà ho tre domande:
1) Nel caso in cui l'esercizio mi avesse chiesto di calcolare una primitiva come avrei dovuto procedere? Avrei dovuto dire che non esiste una primitiva della funzione?
2) Stò studiando la convergenza degli integrali impropri di prima e seconda specie e, solito problema, la primitiva sembra essere necessaria per capire a cosa converge/diverge. Come devo comportarmi con le funzioni per capire se convergono/divergono se non so trovare una primitiva?
3) Qualche anima pia mi può spiegare la tecnica (se esiste) per trovare un maggiorante di una funzione integrale (per esempio qual'è un maggiorante della funzione data in esempio?).
Grazie mille
Paolo
Il topic di Camillo sullo studio delle funzioni integrali lo hai spulciato?
Ciao,
si stavo spulciando il pdf di Camillo (https://www.matematicamente.it/staticfil ... egrale.pdf) ora ed in effetti c'è un esempio (2.2) che sembra essere simile al mio.
Cito testualmente: "Poiché l'integrale diverge a $-infty$, anche $F(x)$ diverge a $-infty$".
E' proprio questa parte che non mi è chiara, nel senso che non capisco come faccia a calcolare la convergenza/divergenza senza conoscere la primitiva.
Grazie mille
Paolo
si stavo spulciando il pdf di Camillo (https://www.matematicamente.it/staticfil ... egrale.pdf) ora ed in effetti c'è un esempio (2.2) che sembra essere simile al mio.
Cito testualmente: "Poiché l'integrale diverge a $-infty$, anche $F(x)$ diverge a $-infty$".
E' proprio questa parte che non mi è chiara, nel senso che non capisco come faccia a calcolare la convergenza/divergenza senza conoscere la primitiva.
Grazie mille
Paolo
"kipliko":
2) Stò studiando la convergenza degli integrali impropri di prima e seconda specie e, solito problema, la primitiva sembra essere necessaria per capire a cosa converge/diverge.
e invece non lo è
ad esempio,se $f(x)$ è definita in $[a,+infty)$ e in tale intervallo assume sempre lo stesso segno, $ int_(a)^(+infty) f(x) dx $ converge se,e solo se,a $+infty$ la $f(x)$ è un infinitesimo di ordine maggiore di $1$
analogo discorso per l'intervallo $(-infty,a)$
inoltre ,se f(x) è definita in $[a,b)$ e in tale intervallo assume sempre lo stesso segno, $ int_(a)^(b) f(x) dx $ diverge se,e solo se,per $x rarr b$,la $f(x)$ è un infinito di ordine maggiore o uguale ad $1$
analogo discorso per l'intervallo $(a,b]$
"quantunquemente":
se,e solo se,a $+infty$ la $f(x)$ è un infinitesimo di ordine maggiore di $1$
Non è un "se e solo se", purtroppo. Ci sono funzioni con l'integrale convergente e che non sono infinitesimi di ordine maggiore di $1$. Ce ne sono addirittura che non sono manco infinitesimi. Ma è un criterio che si può applicare molto spesso.
a me sembra che se la funzione assume sempre lo stesso segno sia un "se è solo se"
ma magari mi sbaglio
ma magari mi sbaglio
perfetto 
fortunatamente di solito le funzioni negli esercizi non sono così strane
fortunatamente di solito le funzioni negli esercizi non sono così strane
In pratica, per gli integrali impropri di prima specie, è come studiare il carattere della serie (solo per $[a, + infty)$) giusto?
Non mi è chiaro quando dici che per $x->b$, $f(x)$ è un infinito di ordine maggiore o uguale ad 1.
Per esempio mi spiegheresti questo esercizio?
$int_0^1 sin(x)/sqrtx dx$
So che $sinx ~ x$ per $x->0$ e quindi viene fuori: $x/sqrtx = sqrtx$
Ma $sqrtx$ non è un infinito.
Mi sto perdendo.
Grazie mille per la pazienza.
Paolo
Non mi è chiaro quando dici che per $x->b$, $f(x)$ è un infinito di ordine maggiore o uguale ad 1.
Per esempio mi spiegheresti questo esercizio?
$int_0^1 sin(x)/sqrtx dx$
So che $sinx ~ x$ per $x->0$ e quindi viene fuori: $x/sqrtx = sqrtx$
Ma $sqrtx$ non è un infinito.
Mi sto perdendo.
Grazie mille per la pazienza.
Paolo
"kipliko":
Ma $sqrtx$non è un infinito
e quindi l'integrale converge
anche $ int_(0)^(1) 1/sqrtx dx $ converge perchè l'integrando a zero è un infinito di ordine $1/2$
l'integrale $ int_(0)^(1) 1/x^2 dx $ invece diverge
Ok,
quindi è l'esatto contrario di quello che sono le armoniche generalizzate per le serie dove $1/x^ alpha$ con $alpha$ <= 1 Diverge?
quindi è l'esatto contrario di quello che sono le armoniche generalizzate per le serie dove $1/x^ alpha$ con $alpha$ <= 1 Diverge?
nell'intervallo limitato è il contrario,in quello illimitato è lo stesso
infatti
$ int_(1)^(+infty) 1/sqrtxdx $ diverge
$ int_(1)^(+infty) 1/x^2dx $ converge
infatti
$ int_(1)^(+infty) 1/sqrtxdx $ diverge
$ int_(1)^(+infty) 1/x^2dx $ converge
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