Integrale fratto a radici più complesse
Ho trovato questa nuova equazione a radici complesse:
$int dx/((x^2+1)(x^2+2x+4))$
$1/((x^2+1)(x^2+2x+4)) = (A2x)/(x^2+1) +B/(x^2+1)+(C(2x+2))/(x^2+2x+4)+D/(x^2+2x+4)
Innanzitutto una domanda: come ha fatto a calcolare il numeratore di A e di C? Per esempio, per A ha derivato $(x^2+1)$? Vorrei capire in genere come funziona quando si hanno radici così "complessate".
Poi io l'ho risolta in questo modo:
$1=A2x(x^2+2x+4)+B(x^2+2x+4)+C(2x+2)(x^2+1)+D(x^2+1)
Quindi ho raggruppato per i gradi delle incognite:
Per $x^3$: 0=2A+2C
Per $x^2$: 0=4A+B+2C+D
Per $x^1$: 0=8A+2B+2C
Per $x^0$: 1=4B+2C+D
A questo punto ho provato a risolvere il sistema, ma viene fuori un circolo vizioso da cui non riesco a uscire... Ho sbagliato qualcosa prima? Oppure semplicemente ho sbagliato a calcolare il sistema?
$int dx/((x^2+1)(x^2+2x+4))$
$1/((x^2+1)(x^2+2x+4)) = (A2x)/(x^2+1) +B/(x^2+1)+(C(2x+2))/(x^2+2x+4)+D/(x^2+2x+4)
Innanzitutto una domanda: come ha fatto a calcolare il numeratore di A e di C? Per esempio, per A ha derivato $(x^2+1)$? Vorrei capire in genere come funziona quando si hanno radici così "complessate".
Poi io l'ho risolta in questo modo:
$1=A2x(x^2+2x+4)+B(x^2+2x+4)+C(2x+2)(x^2+1)+D(x^2+1)
Quindi ho raggruppato per i gradi delle incognite:
Per $x^3$: 0=2A+2C
Per $x^2$: 0=4A+B+2C+D
Per $x^1$: 0=8A+2B+2C
Per $x^0$: 1=4B+2C+D
A questo punto ho provato a risolvere il sistema, ma viene fuori un circolo vizioso da cui non riesco a uscire... Ho sbagliato qualcosa prima? Oppure semplicemente ho sbagliato a calcolare il sistema?
Risposte
Per scomporre una funzione razionale fratta in frazioni parziali esiste un metodo ‘automatico’ che si può applicare nella stragrande maggioranza dei casi. Suppniamo di avere una funzione razionale fratta del tipo…
$F(x)= (P(x))/(Q(x))$ (1)
…con P(x) e Q(x) polinomi in x di grado rispettivamente uguale a m ed n. Non è limitativo supporre m
$F(x) = r_1/(x-a_1) + r_2/(x-a_2) + … + r_n/(x-a_n)$ (2)
in cui $r_i$ , $i=1,2,…,n$ è detto residuo della radice di indice i e vale…
$r_i = lim_(x->a_i) F(x) (x-a_i)$ (3)
Se due radici sono complesse e coniugate è possibile dimostrare che anche i loro residui sono complessi e coniugati per cui il loro contributo nella (2) è una frazione con numeratore di primo grado e denominatore di secondo grado in x a coefficienti reali. Se posso permettermi un consiglio prova ad applicare il metodo agli esempi da te proposti e verifica i risultati…
cordiali saluti
lupo grigio
$F(x)= (P(x))/(Q(x))$ (1)
…con P(x) e Q(x) polinomi in x di grado rispettivamente uguale a m ed n. Non è limitativo supporre m
$F(x) = r_1/(x-a_1) + r_2/(x-a_2) + … + r_n/(x-a_n)$ (2)
in cui $r_i$ , $i=1,2,…,n$ è detto residuo della radice di indice i e vale…
$r_i = lim_(x->a_i) F(x) (x-a_i)$ (3)
Se due radici sono complesse e coniugate è possibile dimostrare che anche i loro residui sono complessi e coniugati per cui il loro contributo nella (2) è una frazione con numeratore di primo grado e denominatore di secondo grado in x a coefficienti reali. Se posso permettermi un consiglio prova ad applicare il metodo agli esempi da te proposti e verifica i risultati…
cordiali saluti
lupo grigio
Scusa, ma non riesco a capire il passaggio $r_i = lim_(x->a_i) F(x) (x-a_i)$ applicato nella pratica...
Come faccio ad esempio a scomporre nel mio esempio $((x^2+1)(x^2+2x+4))$?
Allora vediamo di applicare la cosa all’esempio da te fornito. Sia…
$F(x)= (P(x))/(Q(x)) = 1/((x^2+1)(x^2+2x+4))$ (1)
Evidentemente è…
$Q(x) = (x-j) (x+j) (x+2)^2$ (2)
Il polinomio Q(x) [di quarto grado… ] ha una coppia di radici complesse a coniugate [$x=+-j$…] e una radice reale [$x=-2$…] di molteplicità 2. Alle prime due radici possiamo applicare il teorema dei residui prima citato. Prendiamo per esempio x=j, il residuo sarà…
$r_1= lim_(x->j) 1/((x+j)(x^2+2x+4))$ =$1/(6j-4)$=$-1/5 –3/10j$ (3)
Si può dinostrare che il residuo della radice coniugata non è altro che il nconiugato del residuo trovato per cui, combinando le due radici insieme di ottine un termine del tipo…
$r_1/(x-j) + r_2/(x+j) = (-2/5x+3/5)/(x^2+1)$ (4)
Il contributo restante sarà del tipo $(ax+b)/(x^2+2x+4)$ non può essere però trovato col metodo ora descritto in quanto abbimoa una radice con molteplicità maggiore di 1. Che cosa fare in un caso del genere lo spiegheremo in una prossima puntata…
cordiali saluti
lupo grigio
$F(x)= (P(x))/(Q(x)) = 1/((x^2+1)(x^2+2x+4))$ (1)
Evidentemente è…
$Q(x) = (x-j) (x+j) (x+2)^2$ (2)
Il polinomio Q(x) [di quarto grado… ] ha una coppia di radici complesse a coniugate [$x=+-j$…] e una radice reale [$x=-2$…] di molteplicità 2. Alle prime due radici possiamo applicare il teorema dei residui prima citato. Prendiamo per esempio x=j, il residuo sarà…
$r_1= lim_(x->j) 1/((x+j)(x^2+2x+4))$ =$1/(6j-4)$=$-1/5 –3/10j$ (3)
Si può dinostrare che il residuo della radice coniugata non è altro che il nconiugato del residuo trovato per cui, combinando le due radici insieme di ottine un termine del tipo…
$r_1/(x-j) + r_2/(x+j) = (-2/5x+3/5)/(x^2+1)$ (4)
Il contributo restante sarà del tipo $(ax+b)/(x^2+2x+4)$ non può essere però trovato col metodo ora descritto in quanto abbimoa una radice con molteplicità maggiore di 1. Che cosa fare in un caso del genere lo spiegheremo in una prossima puntata…
cordiali saluti
lupo grigio
Ok, sino a qui ci sono
Per affrontare il caso in cui una funzione…
$f(x)= (P(x))/(Q(X))$
.. possiede al denominatore una radice [reale o complessa…] con ordine di molteplicità maggiore di 1 occorre impostare il sidcorso in maniera più completa e generale. Innanzi tutto operiamo con la variabile complessa z in luogo della variabile reale x. In secondo luogo consideriamo il caso in cui f(z) ha una sola singolarità in z=a di molteplicità n. Come si vedrà in seguito ciò non è limitativo è il risultato vale anche per una funzione f(z) con un numero qualunque finito di singolarità. Limitatamente alla regione del piano complesso in cui f(z) è analitica ovunque tranne che in z=a, essa si può sviluppare in serie di Laurent come…
$f(z)=(a_(-n))/((z-a)^n) + (a_(-n+1))/((z-a)^(n-1)) + … + a_0 + a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+…$ (2)
Le $a_i$ con indice negativo che compaiono nella (2) possono essere calcolate nel seguente modo. Moltiplichiamo entrambi i membri della (2) per $(z-a)^n$…
$(z-a)^n f(z)= a_(-n) + a_(-n+1) (z-a) + … a_(-1) (z-a)^(n-1) + … $ (3)
Dalla (3) di vede subito che…
$a_(-n) = lim_ (z->a) (z-a)^n f(z)$ (4)
Per calcolare $a_(-n+1)$ deriviamo entrambi i termini della (2) rispetto a z ed otterremo che…
$a_(-n+1)= 1/(1!) lim_(z->a) d/(dz) (z-a)^n f(z)$ (5)
Derivando due volte rispetto a z entrambi i termini della (2) otteniamo nella stessa maniera…
$a_(-n+2) = 1/(2!) lim_ (z->a) d^2/(dz^2) (z-a)^n f(z)$ (6)
Si va avanti così fino a che, derivando n-1 volte rispetto a z, si ottiene…
$a_(-1)= 1/((n-1)!) lim _(z->a) d^(n-1)/(dz^(n-1)) (z-a)^n f(z)$ (7)
Questo il modo di procedere… i dettagli del calcolo per n=2 sono lieto di lasciarli a te…
cordiali saluti
lupo grigio
$f(x)= (P(x))/(Q(X))$
.. possiede al denominatore una radice [reale o complessa…] con ordine di molteplicità maggiore di 1 occorre impostare il sidcorso in maniera più completa e generale. Innanzi tutto operiamo con la variabile complessa z in luogo della variabile reale x. In secondo luogo consideriamo il caso in cui f(z) ha una sola singolarità in z=a di molteplicità n. Come si vedrà in seguito ciò non è limitativo è il risultato vale anche per una funzione f(z) con un numero qualunque finito di singolarità. Limitatamente alla regione del piano complesso in cui f(z) è analitica ovunque tranne che in z=a, essa si può sviluppare in serie di Laurent come…
$f(z)=(a_(-n))/((z-a)^n) + (a_(-n+1))/((z-a)^(n-1)) + … + a_0 + a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+…$ (2)
Le $a_i$ con indice negativo che compaiono nella (2) possono essere calcolate nel seguente modo. Moltiplichiamo entrambi i membri della (2) per $(z-a)^n$…
$(z-a)^n f(z)= a_(-n) + a_(-n+1) (z-a) + … a_(-1) (z-a)^(n-1) + … $ (3)
Dalla (3) di vede subito che…
$a_(-n) = lim_ (z->a) (z-a)^n f(z)$ (4)
Per calcolare $a_(-n+1)$ deriviamo entrambi i termini della (2) rispetto a z ed otterremo che…
$a_(-n+1)= 1/(1!) lim_(z->a) d/(dz) (z-a)^n f(z)$ (5)
Derivando due volte rispetto a z entrambi i termini della (2) otteniamo nella stessa maniera…
$a_(-n+2) = 1/(2!) lim_ (z->a) d^2/(dz^2) (z-a)^n f(z)$ (6)
Si va avanti così fino a che, derivando n-1 volte rispetto a z, si ottiene…
$a_(-1)= 1/((n-1)!) lim _(z->a) d^(n-1)/(dz^(n-1)) (z-a)^n f(z)$ (7)
Questo il modo di procedere… i dettagli del calcolo per n=2 sono lieto di lasciarli a te…
cordiali saluti
lupo grigio
Grazie.
Penso di aver capito, anche se è un po' complicato
Penso di aver capito, anche se è un po' complicato
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