Integrale fratto
Sicuramente questo integrale è facile da risolvere, ma non ci sono riuscito 
. I metodi di sostituzione che suggerisce il mio libro non mi hanno portato lontano... L'integrale è questo
[tex]\displaystyle \int \dfrac {1}{(a+x^2)^{3/2}}dx[/tex] Avevo provato a porre [tex]t=a+x^2[/tex] ma la situazione si complica. Forse non è la sostituzione migliore?
. I metodi di sostituzione che suggerisce il mio libro non mi hanno portato lontano... L'integrale è questo [tex]\displaystyle \int \dfrac {1}{(a+x^2)^{3/2}}dx[/tex] Avevo provato a porre [tex]t=a+x^2[/tex] ma la situazione si complica. Forse non è la sostituzione migliore?
Risposte
[tex]$a$[/tex] è un numero reale qualsiasi? Perché in questo caso l'integrale cambia a seconda che esso sia positivo, negativo o nullo.
Scusatemi per la dimenticanza: [tex]a[/tex] è un reale positivo.
Ah, allora sarebbe meglio scrivere così: [tex]$\int\frac{1}{(a^2+x^2)}^{3/2}}\ dx$[/tex]. Una sostituzione standard che ti suggerisco è la seguente [tex]$x=a\sinh t$[/tex] con il seno iperbolico. Altrimenti puoi usare quest'altra [tex]$\sqrt{a^2+x^2}=t+x$[/tex].
Nel primo caso ottieni [tex]$a^2+x^2=a^2+a^2\sinh^2 t=a^2(1+\sinh^2 t)=a^2\cosh^2 t$[/tex], [tex]$dx=a\cosh t\ dt$[/tex], nel secondo invece hai [tex]$x=\frac{a^2-t^2}{2t}$[/tex] e quindi [tex]$dx=-\frac{a^2+t^2}{2t^2}\ dt$[/tex]
Nel primo caso ottieni [tex]$a^2+x^2=a^2+a^2\sinh^2 t=a^2(1+\sinh^2 t)=a^2\cosh^2 t$[/tex], [tex]$dx=a\cosh t\ dt$[/tex], nel secondo invece hai [tex]$x=\frac{a^2-t^2}{2t}$[/tex] e quindi [tex]$dx=-\frac{a^2+t^2}{2t^2}\ dt$[/tex]
Ti ringrazio per i suggerimenti. Ho provato a sfruttare il secondo (le funzioni iperboliche non so neanche cosa siano ) ma arrivo lo stesso ad un integrale che, come forma, è simile a quello di partenza. Qualcuno potrebbe provarci e, se giunge a un risultato, postare il procedimento?
) ma arrivo lo stesso ad un integrale che, come forma, è simile a quello di partenza. Qualcuno potrebbe provarci e, se giunge a un risultato, postare il procedimento?
Se usi il secondo metodo ottieni
[tex]$x=\frac{a^2-t^2}{2t},\ dx=-\frac{a^2+t^2}{2t^2}\ dt,\ (a^2+x^2)^{3/2}=\left(t+\frac{a^2-t^2}{2t}\right)^3=\frac{(a^2+t^2)^3}{8t^3}$[/tex]
da cui l'integrale
[tex]$-\int\frac{8t^3}{(a^2+t^2)^3}\cdot\frac{a^2+t^2}{2t^2}\ dt=-4\int\frac{t}{(a^2+t^2)^2}\ dt$[/tex]
da cui, posto [tex]$z=a^2+t^2,\ 2t\ dt=dz$[/tex]
[tex]$=-4\int\frac{1}{z^2}\cdot\frac{1}{2}\ dz=-2\cdot\left(-\frac{1}{z}\right)+c=\frac{2}{z}+c$[/tex]
Con le sostituzioni inverse abbiamo
[tex]$z=a^2+t^2=a^2+\left(\sqrt{a^2+x^2}-x\right)^2=a^2+a^2+x^2+x^2-2x\sqrt{a^2+x^2}=2\left[(a^2+x^2)-x\sqrt{a^2+x^2}\right]$[/tex]
e quindi
[tex]$\int\frac{1}{(a^2+x^2)^{3/2}}\ dx=\frac{2}{2\left[(a^2+x^2)-x\sqrt{a^2+x^2}\right]}+c=$[/tex]
razionalizzando
[tex]$=\frac{\left[(a^2+x^2)+x\sqrt{a^2+x^2}\right]}{(a^2+x^2)^2-x^2(a^2+x^2)}+c=\frac{(a^2+x^2)+x\sqrt{a^2+x^2}}{(a^2+x^2)(a^2+x^2-x^2)}+c=$[/tex]
[tex]$=\frac{(a^2+x^2)+x\sqrt{a^2+x^2}}{a^2(a^2+x^2)}+c=\frac{1}{a^2}+\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}+c=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}+c$[/tex]
avendo assorbito la costante [tex]$1/a^2$[/tex] in quella arbitraria.
Con l'altro metodo, invece, avresti l'integrale
[tex]$\int\frac{1}{a^3\cosh^3 t}\cdot a\cosh t\ dt=\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{\cosh^2 t}\ dt=\frac{1}{a^2}\cdot\tanh t+c=\frac{\sinh t}{a^2\cosh t}+c=$[/tex]
[tex]$=\frac{x/a}{a^2\sqrt{1+x^2/a^2}}+c=\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}+c$[/tex]
[tex]$x=\frac{a^2-t^2}{2t},\ dx=-\frac{a^2+t^2}{2t^2}\ dt,\ (a^2+x^2)^{3/2}=\left(t+\frac{a^2-t^2}{2t}\right)^3=\frac{(a^2+t^2)^3}{8t^3}$[/tex]
da cui l'integrale
[tex]$-\int\frac{8t^3}{(a^2+t^2)^3}\cdot\frac{a^2+t^2}{2t^2}\ dt=-4\int\frac{t}{(a^2+t^2)^2}\ dt$[/tex]
da cui, posto [tex]$z=a^2+t^2,\ 2t\ dt=dz$[/tex]
[tex]$=-4\int\frac{1}{z^2}\cdot\frac{1}{2}\ dz=-2\cdot\left(-\frac{1}{z}\right)+c=\frac{2}{z}+c$[/tex]
Con le sostituzioni inverse abbiamo
[tex]$z=a^2+t^2=a^2+\left(\sqrt{a^2+x^2}-x\right)^2=a^2+a^2+x^2+x^2-2x\sqrt{a^2+x^2}=2\left[(a^2+x^2)-x\sqrt{a^2+x^2}\right]$[/tex]
e quindi
[tex]$\int\frac{1}{(a^2+x^2)^{3/2}}\ dx=\frac{2}{2\left[(a^2+x^2)-x\sqrt{a^2+x^2}\right]}+c=$[/tex]
razionalizzando
[tex]$=\frac{\left[(a^2+x^2)+x\sqrt{a^2+x^2}\right]}{(a^2+x^2)^2-x^2(a^2+x^2)}+c=\frac{(a^2+x^2)+x\sqrt{a^2+x^2}}{(a^2+x^2)(a^2+x^2-x^2)}+c=$[/tex]
[tex]$=\frac{(a^2+x^2)+x\sqrt{a^2+x^2}}{a^2(a^2+x^2)}+c=\frac{1}{a^2}+\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}+c=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}+c$[/tex]
avendo assorbito la costante [tex]$1/a^2$[/tex] in quella arbitraria.
Con l'altro metodo, invece, avresti l'integrale
[tex]$\int\frac{1}{a^3\cosh^3 t}\cdot a\cosh t\ dt=\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{\cosh^2 t}\ dt=\frac{1}{a^2}\cdot\tanh t+c=\frac{\sinh t}{a^2\cosh t}+c=$[/tex]
[tex]$=\frac{x/a}{a^2\sqrt{1+x^2/a^2}}+c=\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}+c$[/tex]
Ti ringrazio per la disponibilità (quanto latex!) ora è tutto chiaro 
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