Integrale fratto

[faximusy]

Salve a tutti, sono sempre qui a risolvere integrali :p
Questo integrale fratto però mi causa una perplessità:

$int (x^2+10x+4)/(x^3-1) dx $


Ho provato a risolverlo nel metodo classico.
Siccome le radici del denominatore sono tre reali e multiple, pari a $x=1$

Ho riscritto in questo modo:

$A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x-1)^3$

quindi:

$x^2+10x+4=A(x-1)^2 + B(x-1) +C $

Il cui sistema mi dà:

$A=1; B=12; C=15$

ossia, l'integrale risulterà pari a:


$\int (x^2+10x+4)/(x^3-1) dx = \int 1/(x-1)dx + 12\int 1/(x-1)^2 d(x-2) + 15\int 1/(x-1)^3 d(x-1) $

questpo quindi mi viene:

$log(x-1) - 12/(x-1) - 30/(x-1)^2 + c $

Però non mi trovo con il risultato suggeritomi da Derive, cioè:

$2·√3·arctg((√3·(2·x + 1))/3) - 2·LN(x^2 + x + 1) + 5·LN(x - 1)


Non riesco a capire dove ho sbagliato :S Eppure ho seguito il processo risolutivo attentamente.

Grazie per l'attenzione

[Paolo902]

L'errore è nelle primissime righe. Direi che hai cannato in pieno la scomposizione, probabilmente ti sei confuso.

"faximusy":

$int (x^2+10x+4)/(x^3-1) dx $

Siccome le radici del denominatore sono tre reali e multiple, pari a $x=1$

Are you sure che $x^3-1$ abbia tre radici reali multiple pari a $x=1$?

[faximusy]

Ciao Paolo,

effettivamente le radici sono $x_1=1; x_(2,3)=(-1+-\sqrt(-3))/2

La fretta mi è stata cattivissima consigliera A questo punto la soluzione si fa più complessa, ma più corretta.

Grazie di tutto

[Paolo902]

Figurati. Cose che capitano, non ti preoccupare.

[cirasa]

"faximusy":effettivamente le radici sono (..) $x_(2,3)=(-1+-\sqrt(-3))/2$
(...)
A questo punto la soluzione si fa più complessa, ma più corretta.

lol