Integrale fratto
Ho trovato la soluzione di questo integrale. Ve lo scrivo, poi vi faccio la domanda:
$int (3x^3-4x^2-3x+2)/(x^4-x^2) dx =$
$int (3x^3-4x^2-3x+2)/(x^2(x+1)(x-1)) dx =$
$ A/x+B/x^2+C/(x+1)+D/(x-1)$
$3x^3-4x^2-3x+2 = Ax(x+1)(x-1)+B(x+1)(x-1)+C(x^2)(x-1)+D(x^2)(x+1)
Le seguenti suppongo siano le radici del denominatore. Sostituendo i valori alla x, qui sopra, si trova:
Per x=0: $B=-2$
Per x=1: $D=-1$
Per x=-1: $C=1$
Il seguito invece non ho capito da dove l'ha tirato fuori:
$3=A+C+D
$A=3-1+1=3
Il resto dopo è storia. Basta sostituire i valori trovati nell'equazione e fare l'integrale.
Quello che non capisco è: dove ha preso il 3 della penultima riga? Perchè manca il B all'elenco della sommatoria? E perchè l'ha usato solo per trovare A?
Grazie
$int (3x^3-4x^2-3x+2)/(x^4-x^2) dx =$
$int (3x^3-4x^2-3x+2)/(x^2(x+1)(x-1)) dx =$
$ A/x+B/x^2+C/(x+1)+D/(x-1)$
$3x^3-4x^2-3x+2 = Ax(x+1)(x-1)+B(x+1)(x-1)+C(x^2)(x-1)+D(x^2)(x+1)
Le seguenti suppongo siano le radici del denominatore. Sostituendo i valori alla x, qui sopra, si trova:
Per x=0: $B=-2$
Per x=1: $D=-1$
Per x=-1: $C=1$
Il seguito invece non ho capito da dove l'ha tirato fuori:
$3=A+C+D
$A=3-1+1=3
Il resto dopo è storia. Basta sostituire i valori trovati nell'equazione e fare l'integrale.
Quello che non capisco è: dove ha preso il 3 della penultima riga? Perchè manca il B all'elenco della sommatoria? E perchè l'ha usato solo per trovare A?
Grazie
Risposte
Il coefficiente di x^3 nella sommatoria (come la chiami tu) e' A+C+D e deve essere
uguale al coeff. di x^3 nel primo membro (principio d'identita' dei polinomi).Poiche' tale coeff. e' 3 si ha appunto:
A+C+D=3 da cui A=3-C-D=3-1+1=3.Ti faccio notare che per x=0 si ottiene B=-2
e non pure A=0
Archimede.
uguale al coeff. di x^3 nel primo membro (principio d'identita' dei polinomi).Poiche' tale coeff. e' 3 si ha appunto:
A+C+D=3 da cui A=3-C-D=3-1+1=3.Ti faccio notare che per x=0 si ottiene B=-2
e non pure A=0
Archimede.
Nell'ultima formula che hai scritto devi fare i conti al secondo membre e riordinare secondo le potenze decrescenti di x ; dato che deve essere una identità , allora per ogni potenza di x imponi che i relativi coefficienti a primo e a secondo membro siano uguali , da cui ottieni :
A+C+D = 3 etc.
avrai 4 equazioni in 4 uincognite : A , B, C , D .
Camillo
A+C+D = 3 etc.
avrai 4 equazioni in 4 uincognite : A , B, C , D .
Camillo
Ho corretto.
Quindi, se ho capito bene, prima faccio tutte le operazioni del secondo membro
$Ax(x+1)(x-1)+B(x+1)(x-1)+C(x^2)(x-1)+D(x^2)(x+1) =
$Ax^3-Ax+Bx^2-B+Cx^3-Cx^2+Dx^3+Dx^2
Poi, siccome mi manca da trovare A (i valori degli altri tre già li ho trovati) guardo qual è il suo massimo grado e quindi raggruppo in $x^3$ i valori:
$x^3 (A+C+D)
Pongo quindi il suo coefficiente pari al coefficiente del primo membro e risolvo:
$A+C+D=3
E' esatto?
Quindi, se ho capito bene, prima faccio tutte le operazioni del secondo membro
$Ax(x+1)(x-1)+B(x+1)(x-1)+C(x^2)(x-1)+D(x^2)(x+1) =
$Ax^3-Ax+Bx^2-B+Cx^3-Cx^2+Dx^3+Dx^2
Poi, siccome mi manca da trovare A (i valori degli altri tre già li ho trovati) guardo qual è il suo massimo grado e quindi raggruppo in $x^3$ i valori:
$x^3 (A+C+D)
Pongo quindi il suo coefficiente pari al coefficiente del primo membro e risolvo:
$A+C+D=3
E' esatto?
Sì , esatto ; naturalemnte questo metodo serve anche a trovare gli altri coefficienti B , C ,D se tu non li avessi già trovati in latro modo.
Camillo
Camillo
Splendido!
Grazie mille a entrambi
Grazie mille a entrambi
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