Integrale fratto

[kipliko]

Buona sera a tutti,
ho un nuovo problema col seguente integrale e non riesco ad andare avanti:

$int x sqrt((1-x)/(1+x)) dx$

Dopo aver eseguito la seguente sostituzione:
$sqrt((1-x)/(1+x))=t$
$(1-t^2)/(1+t^2)=x$
$dx = (4t)/(t^2+1)^2$

Ottengo:
$(t^2-1)/(t^2+1) *t* (4t)/(t^2+1)^2 dt$
quindi:
$4*int(t^4-t^2)/(t^2+1)^3$

Fattorizzo:
$t^4-t^2 = (t^2+1)^2-3(t^2+1)+2$
$(A)/(t^2+1)+(B)/(t^2+1)^2+(C)/(t^2+1)^3$
Ottengo:
$\{(A=1),(B=-3),(C=2):}$

Integrando ottengo:
$4int(1)/(t^2+1)dt -12 int(1)/(t^2+1)^2dt+8(1)/(t^2+1)^3dt$

Il primo è: $4arctg|t|$
Ma gli altri non riesco a calcolarli.
Sò solo che il risultato finale (Dal libro di Esercizi Sbordone) è:
$arctg|t| - (3t)/(t^2+1)+ (2t)/(t^2+1)^2+c$

Grazie in anticipo
Saluti
Paolo

[kipliko]

Grazie mille per la risposta così celere, ma devo ammettere che con $t=tgu$ mi hai spiazzato.
Ho provato in questo modo:
Posto $t=tgu$ ho $dt=(1)/(cos^2u)du$
Integrando ottengo:
$int (1)/(tg^2u+1)^2*(1)/(cos^2u)du$
E poi:
$int (1)/((sin^2u)/(cos^2u)+1)^2*(1)/(cos^2u)du$
Quindi:
$int (1)/((sin^2u+cos^2u)/(cos^2u))^2*(1)/(cos^2u)du$
Che equivale a:
$int (1)/((1)/(cos^2u))^2*(1)/(cos^2u)du$
Semplificando:
$int cos^4u*(1)/(cos^2u)du$
Ed ottengo alla fine:
$int cos^2u du$
Ma dubito che questo sia il modo, quindi o ho sbagliato le sostituzioni trigonometriche oppure il modo.

Help me pls

Grazie mille
Paolo