Integrale: fratti semplici
Buona sera. Ho alcune difficoltà con la risoluzione "parziale" ( perchè trovata parte della soluzione dell'integrale di partenza!) del seguente integrale:
$int (2x^2-1)/(x(x^4-x^2-2))dx$
sono ricorso ai fratti semplici:
$A/x+(Bx+C)/(x^4-x^2-2)=(2x^2-1)/(x(x^4-x^2-2))$
ricavando:
$A=0$
$-A+B=2$
$-2A=-1$
eppure mi sa che ho sbagliato qualcosa.
sapreste aiutarmi?
Vi ringrazio.
Alex
$int (2x^2-1)/(x(x^4-x^2-2))dx$
sono ricorso ai fratti semplici:
$A/x+(Bx+C)/(x^4-x^2-2)=(2x^2-1)/(x(x^4-x^2-2))$
ricavando:
$A=0$
$-A+B=2$
$-2A=-1$
eppure mi sa che ho sbagliato qualcosa.
sapreste aiutarmi?
Vi ringrazio.
Alex
Risposte
Guarda che il polinomio di quarto grado al denominatore è fattorizzabile...
L'idea dei fratti semplici è che le frazioni abbiano a denominatore polinomi non fattorizzabili in $RR$ (ossia, siano scritti nella forma "più semplice possibile"); visto che in $RR$ non sono ulteriormente fattorizzabili solo i polinomi di primo grado e quelli di secondo grado con $Delta<0$, non puoi avere a denominatore dei fratti semplici polinomi di grado $>2$.
In altre parole, $1/(x^4-x^2-2)$ non è un fratto semplice.
L'idea dei fratti semplici è che le frazioni abbiano a denominatore polinomi non fattorizzabili in $RR$ (ossia, siano scritti nella forma "più semplice possibile"); visto che in $RR$ non sono ulteriormente fattorizzabili solo i polinomi di primo grado e quelli di secondo grado con $Delta<0$, non puoi avere a denominatore dei fratti semplici polinomi di grado $>2$.
In altre parole, $1/(x^4-x^2-2)$ non è un fratto semplice.
Per fattorizzarlo poni semplicemente $t = x^2$ risolvendo col modo standard l'equazione di secondo grado, e poi risostituisci $x^2 = t$
"Gatto89":
Per fattorizzarlo poni semplicemente $t = x^2$ risolvendo col modo standard l'equazione di secondo grado, e poi risostituisci $x^2 = t$
ma così trovo, se non sbaglio, soluzione 2 e -1, e riportandomi a $x^2=t ->x=sqrt t $ -> $sqrt2$ e $sqrt(-1)$
Certo, trovando $t=-1,2$ la fattorizzazione del polinomio biquadratico $x^4-x^2-2$ è:
$(x^2-2)*(x^2+1) \quad$;
ora evidentemente il primo fattore è ancora scomponibile (differenza di quadrati), mentre il secondo non lo è (perchè, come detto più sopra, ha $Delta <0$).
Fatta questa ulteriore scomposizione, hai il polinomio $x^4-x^2-2$ scritto come prodotto di tre polinomi irriducibili i quali possono essere usati per una decomposizione in fratti semplici.
$(x^2-2)*(x^2+1) \quad$;
ora evidentemente il primo fattore è ancora scomponibile (differenza di quadrati), mentre il secondo non lo è (perchè, come detto più sopra, ha $Delta <0$).
Fatta questa ulteriore scomposizione, hai il polinomio $x^4-x^2-2$ scritto come prodotto di tre polinomi irriducibili i quali possono essere usati per una decomposizione in fratti semplici.
Ragazzi...purtroppo non vengo a capo della soluzione:
decomponendo in fattori trovo
$A(x^2+sqrt2)(x^3+x)+B(x^2-sqrt2)(x^3+x)+C(x^2-2)x+D(x^2+1)(x^2-2)=2x^2-1$
$A+B=0$
$D=0$
$A+sqrt2A+B-sqrt2B+C=0$
$-2D+D=2$
$-2D=-1$
possibile??
decomponendo in fattori trovo
$A(x^2+sqrt2)(x^3+x)+B(x^2-sqrt2)(x^3+x)+C(x^2-2)x+D(x^2+1)(x^2-2)=2x^2-1$
$A+B=0$
$D=0$
$A+sqrt2A+B-sqrt2B+C=0$
$-2D+D=2$
$-2D=-1$
possibile??
Ti trovi qualche coefficiente in meno, mi sà...
Vuoi decomporre:
(*) $\quad (2x^2-1)/(x*(x-\sqrt(2))*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=A/x +B/(x-\sqrt(2))+C/(x+\sqrt(2))+(Dx+E)/(x^2+1)$
(anche $x$ va tra i fratti semplici! Infatti è un fattore del denominatore...).
Per trovare velocemente $A,B,C$ puoi fare nella maniera che ora ti mostro.
Diciamo che vogliamo determinare $A$; moltiplichiamo ambo i membri della (*) per $x$: in tal modo fatte le dovute semplificazioni troviamo:
$(2x^2-1)/((x-\sqrt(2))*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=A+Bx/(x-\sqrt(2))+Cx/(x+\sqrt(2))+(x*(Dx+E))/(x^2+1)$
e passando al limite per $x\to 0$ ambo i membri si trova:
$(-1)/(-\sqrt(2) *\sqrt(2)*1)=lim_(x\to 0) (2x^2-1)/((x-\sqrt(2))*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=lim_(x\to 0)A+Bx/(x-\sqrt(2))+Cx/(x+\sqrt(2))+(x*(Dx+E))/(x^2+1)=A =>$
$\quad => A=1/2$.
Passiamo a determinare $B$: moltiplichiamo ambo i membri di (*) per $x-\sqrt(2)$ e, fatte le dovute semplificazioni, troviamo:
$(2x^2-1)/(x*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=A(x-\sqrt(2))/x +B+C(x-\sqrt(2))/(x+\sqrt(2))+((Dx+E)*(x-\sqrt(2)))/(x^2+1)$
dalla quale, passando ambo i membri al limite per $x\to \sqrt(2)$ ricaviamo:
$(2*2-1)/(\sqrt(2)*(2\sqrt(2))*(2+1))=lim_(x\to \sqrt(2)) (2x^2-1)/(x*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=lim_(x\to \sqrt(2)) A(x-\sqrt(2))/x +B+C(x-\sqrt(2))/(x+\sqrt(2))+((Dx+E)*(x-\sqrt(2)))/(x^2+1)=B =>$
$\quad => B=1/4$.
Per determinare $C$ si moltiplicano ambo i membri di (*) per $x+\sqrt(2)$ e poi si passa al limite per $x\to -\sqrt(2)$.
Insomma il trucco è eliminare il denominatore di primo grado $x-x_0$ che ci da fastidio, così da ottenere al primo ed al secondo membro funzioni continue in $x_0$; poi passare al limite ambo i membri dell'uguaglianza ottenuta per $x\to x_0$.
Questo "trucco" funziona per i fratti semplici che hanno al denominatore polinomi di primo grado, ma non funziona per quelli che hanno al denominatore polinomi di grado due (fondamentalmente perchè quei polinomi non hanno zeri reali); quindi per calcolare $D,E$ devi un po' arrangiarti.
Ovviamente controlla i calcoli, che oggi sono un po' sfasato.
"bad.alex":
$int (2x^2-1)/(x(x^4-x^2-2))dx$
Vuoi decomporre:
(*) $\quad (2x^2-1)/(x*(x-\sqrt(2))*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=A/x +B/(x-\sqrt(2))+C/(x+\sqrt(2))+(Dx+E)/(x^2+1)$
(anche $x$ va tra i fratti semplici! Infatti è un fattore del denominatore...).
Per trovare velocemente $A,B,C$ puoi fare nella maniera che ora ti mostro.
Diciamo che vogliamo determinare $A$; moltiplichiamo ambo i membri della (*) per $x$: in tal modo fatte le dovute semplificazioni troviamo:
$(2x^2-1)/((x-\sqrt(2))*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=A+Bx/(x-\sqrt(2))+Cx/(x+\sqrt(2))+(x*(Dx+E))/(x^2+1)$
e passando al limite per $x\to 0$ ambo i membri si trova:
$(-1)/(-\sqrt(2) *\sqrt(2)*1)=lim_(x\to 0) (2x^2-1)/((x-\sqrt(2))*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=lim_(x\to 0)A+Bx/(x-\sqrt(2))+Cx/(x+\sqrt(2))+(x*(Dx+E))/(x^2+1)=A =>$
$\quad => A=1/2$.
Passiamo a determinare $B$: moltiplichiamo ambo i membri di (*) per $x-\sqrt(2)$ e, fatte le dovute semplificazioni, troviamo:
$(2x^2-1)/(x*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=A(x-\sqrt(2))/x +B+C(x-\sqrt(2))/(x+\sqrt(2))+((Dx+E)*(x-\sqrt(2)))/(x^2+1)$
dalla quale, passando ambo i membri al limite per $x\to \sqrt(2)$ ricaviamo:
$(2*2-1)/(\sqrt(2)*(2\sqrt(2))*(2+1))=lim_(x\to \sqrt(2)) (2x^2-1)/(x*(x+\sqrt(2))*(x^2+1))=lim_(x\to \sqrt(2)) A(x-\sqrt(2))/x +B+C(x-\sqrt(2))/(x+\sqrt(2))+((Dx+E)*(x-\sqrt(2)))/(x^2+1)=B =>$
$\quad => B=1/4$.
Per determinare $C$ si moltiplicano ambo i membri di (*) per $x+\sqrt(2)$ e poi si passa al limite per $x\to -\sqrt(2)$.
Insomma il trucco è eliminare il denominatore di primo grado $x-x_0$ che ci da fastidio, così da ottenere al primo ed al secondo membro funzioni continue in $x_0$; poi passare al limite ambo i membri dell'uguaglianza ottenuta per $x\to x_0$.
Questo "trucco" funziona per i fratti semplici che hanno al denominatore polinomi di primo grado, ma non funziona per quelli che hanno al denominatore polinomi di grado due (fondamentalmente perchè quei polinomi non hanno zeri reali); quindi per calcolare $D,E$ devi un po' arrangiarti.
Ovviamente controlla i calcoli, che oggi sono un po' sfasato.
Ho fatto i calcoli ricopiando nei miei appunti $x^2+1$ vedendo però "distrattamente" il +1 come soluzione REALE....eresia!!! 
Certo che non mi tornavano i conti. Grazie Gugo per la pazienza. Rifarò i calcoli, sperando di evitare certi errori
alex
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