Integrale (Formula del residuo)2

[Blizz1]

Ciao a tutti, potete confermarmi che per calcolare l'integrale $\int_\mathbb{R} \frac{cos^2(t)}{4+t^2} dt$ posso procedere come qui si seguito ho riportato?

$$\int_\mathbb{R} \frac{cos^2(t)}{4+t^2} dt= \frac{1}{4} \int_\mathbb{R} \frac{e^{2it}+e^{-2it}+2}{(t+2i)(t-2i)} dt =$$

$= \frac{1}{4} \int_\mathbb{R} \frac{e^{2it}}{(t+2i)(t-2i)} dt$ + $ \frac{1}{4} \int_\mathbb{R} \frac{e^{-2it}}{(t+2i)(t-2i)} dt$ +$ \frac{1}{4} \int_\mathbb{R} \frac{2}{(t+2i)(t-2i)} dt $

Calcolando i tre integrali separatamente con il teorema del residuo ottengo:

$I_1= \frac{\pi}{2}e^{-4}$
$I_2= -\frac{\pi}{2}e^4$
$I_3= \frac{\pi}{2}$

Quindi moltiplicando $I_1,I_2, I_3$ per $\frac{1}{4}$ e sommandoli insieme si ottiene: $$I= \frac{\pi}{8} (e^{-4}-e^4+1)$$

[dan952]

Se non ricordo male una versione del lemma di Jordan dice che:
$\int_{(-\infty,+\infty)}\frac{P(t)}{Q(t)}e^{iat}dt={ (\pi i\sum Res(z_k)\ a\geq0),(-\pi i\sum Res(z_h)\ a<0):}$[nota]$\Im(z_k)>0$ e $\Im(z_h)<0$, cioè devi percorrere la semicirconferenza superiore nel primo caso e inferiore nel secondo[/nota]
Con $\Re(z_k)=\Re(z_h)=0$.

Nel tuo caso dovrebbe venire $1/4(\pi e^{-4}/4+\pi e^{-4}/4+\pi /2)$ (se ho fatto bene i conti)