Integrale Forme differenziali

[livrea]

Ciao a tutti volevo un chiarimento sulle forme differenziali:
ho il seguente esercizio \(\displaystyle w = (x^2+2x+2y^2)/(x^2+2y^2)dx + 4y/(x^2+2y^2)dy \)
devo calcolare \(\displaystyle \lmoustache w \) lungo t, essendo t la curva di equazione \(\displaystyle x^2+4y^2-2x-3=0 \)

ora il dominio e definito in tutto R^2 -(0,0) quindi ho un buco;
ho verificato che è chiusa;
ora poiché l'insieme di definizione non è un insieme aperto o connesso, perchè presenta un buco non posso dire che è esatta.

Dalla teoria so che se ho un buco e la curva è definita mediante un'equazione, per provare che è esatta ne calcolo il potenziale, se il potenziale esiste ed w è chiusa allora w è esatta. Inoltre data che è esatta l'integrale curvilineo = 0 quindi segue che \(\displaystyle \lmoustache w \) lungo t è uguale a zero se anche t è una curva chiusa.

adesso come calcolo il potenziale e come faccio a capire che t e chiusa???

[21zuclo]

"livrea":
Dalla teoria so che se ho un buco e la curva è definita mediante un'equazione, per provare che è esatta ne calcolo il potenziale, se il potenziale esiste ed w è chiusa allora w è esatta. Inoltre data che è esatta l'integrale curvilineo = 0 quindi segue che \(\displaystyle \lmoustache w \) lungo t è uguale a zero se anche t è una curva chiusa.

adesso come calcolo il potenziale e come faccio a capire che t e chiusa ?

Aspetta mi hai un po' confuso le idee..


prendiamo una generica forma differenziale (o campo vettoriale) in $RR^2$

$ w=a(x,y)dx+b(x,y)dy $

è CHIUSA se $ (\partial)/(\partialy) a(x,y)=(\partial)/(\partialx)b(x,y) $

è ESATTA se $ int_(\gamma)w=0 $ ove $ \gamma $ è una qualsiasi curva chiusa

poi vi sono degli altri criteri per stabilire se è esatta..

per trovare un potenziale
se la forma differenziale è esatta, quindi esiste un potenziale $ U(x,y) $

allora $ (\partial)/(\partial x)U=a(x,y) $ e $ (\partial)/(\partial y)U=b(x,y) $

consideriamo la prima relazione
$ U_x=a(x,y)\to U=\int a(x,y)dx\to U=A(x,y)+\phi(y) $

e adesso facciamo (derivando in y il risultato deve corrispondere a $b(x,y)$)
$ (\partial)/(\partial y)(A(x,y)+\phi(y))=b(x,y) $

ora basta che integri..ed hai il tuo potenziale..

[livrea]

ok per il potenziale, ma come faccio a dire che la mia curva t è chiusa?

[21zuclo]

bé la tua curva è un'ellisse

$ x^2+4y^2-2x-3=0\to x^2-2x+1+4y^2-3-1=0\to (x-1)^2+4y^2-4=0 $

riscriviamolo meglio $ (x-1)^2+4y^2-4=0\to ((x-1)^2)/(4)+y^2=1 $

invece di una cironferenza come accade nella maggior parte dei casi.. tu hai un'ellisse..

quindi devi calcolare l'integrale di quel campo vettoriale sull'ellisse..