Integrale Forma Differenziale
Ciao ragazzi,devo calcolare l'integrale di tale forma differenziale:
$\omega= (x/(x^2+y^2))dx + (y/(x^2+y^2) +1)dy$ in $\gamma$, dove $\gamma$ è la frontiera del quadrato $[-1,1]$x$[-1,1]$.
Per prima cosa trovo il dominio,il quale è $R^2-{(0,0)}$ che non è un insieme connesso. Verifico dunque la chiusura: le derivate parziali incrociate coincidono. Dunque è chiusa. Ma in $R^2-{(0,0)}$ non è esatta,dunque non vale il Teorema di Poincarè. Nel momento in cui la forma diff. risulta non essere esatta in un certo insieme,come devo comportarmi? Sono parecchi i casi che ho incontrato. Qualora riuscissi a trovare l'esattezza di tale F.D. , credo si possa dire subito che l'integrale faccia zero,dato che l'integrale di una forma differenziale esatta in un cammino chiuso(gli estremi del quadrato sono uguali) fa zero. Come devo agire per dimostrare l'esattezza di una forma differenziale quando il dominio non è un insieme aperto connesso?
$\omega= (x/(x^2+y^2))dx + (y/(x^2+y^2) +1)dy$ in $\gamma$, dove $\gamma$ è la frontiera del quadrato $[-1,1]$x$[-1,1]$.
Per prima cosa trovo il dominio,il quale è $R^2-{(0,0)}$ che non è un insieme connesso. Verifico dunque la chiusura: le derivate parziali incrociate coincidono. Dunque è chiusa. Ma in $R^2-{(0,0)}$ non è esatta,dunque non vale il Teorema di Poincarè. Nel momento in cui la forma diff. risulta non essere esatta in un certo insieme,come devo comportarmi? Sono parecchi i casi che ho incontrato. Qualora riuscissi a trovare l'esattezza di tale F.D. , credo si possa dire subito che l'integrale faccia zero,dato che l'integrale di una forma differenziale esatta in un cammino chiuso(gli estremi del quadrato sono uguali) fa zero. Come devo agire per dimostrare l'esattezza di una forma differenziale quando il dominio non è un insieme aperto connesso?
Risposte
Se vuoi calcolare quella forma differenziale sul bordo del quadrato unitario non ti serve sapere se è chiusa o esatta... basta parametrizzare la curva e fare i calcoli 
Comunque è esatta, infatti se definisci $f(x,y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}+y$, ottieni che $\partial_x f=\omega_x$ e $\partial_y f=\omega_y$.
Comunque è esatta, infatti se definisci $f(x,y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}+y$, ottieni che $\partial_x f=\omega_x$ e $\partial_y f=\omega_y$.
Edit: Non riuscendo a dimostrare l'esattezza tramite Poincarè,ho provato a trovare una curva chiusa che circondi il punto critico e a calcolare l'integrale di linea del secondo tipo in tale curva. Ho preso la curva $\gamma:[0,2pi]->R^2, \gamma=(cos(t),sin(t))$ che corrisponde alla circonferenza di centro l'origine e di raggio 1. Ho calcolato l'integrale in tale curva e mi risulta essere zero,dunque secondo un teorema la forma dovrebbe essere esatta. Di conseguenza posso dire che l'integrale della forma differenziale di partenza faccia zero perchè gli estremi del quadrato coincidono. Ricapitolando:
Forma chiusa,forma esatta,dunque l'integrale nella frontiera del quadrato fa zero. Il ragionamento fila?
Se avessi conferma vi sarei grato ragazzi. Così potrò presentare alla vostra attenzione un altro piccolo dubbio
Forma chiusa,forma esatta,dunque l'integrale nella frontiera del quadrato fa zero. Il ragionamento fila?
Se avessi conferma vi sarei grato ragazzi. Così potrò presentare alla vostra attenzione un altro piccolo dubbio
Visto che non ho ricevuto risposta,espongo comunque il mio dubbio. Mi trovo a calcolare l'integrale della seguente forma differenziale: $\omega = x(2log(xy)+1)dx + x^2/y dy$ lungo $\gamma$,la quale è pari a $(4+cost,3+2sint), 0<=t<=pi$. Il dominio è ovviamente non connesso in quanto abbiamo un $y!=0$ al denominatore. Ho pensato allora di prendere un sottoinsieme del dominio $R^2$, ad esempio $A'={(x,y) in R^2 : y >0}$ che può essere ad esempio il primo quadrante in termini cartesiani. Ho quindi calcolato i punti della curva sostituendo a t $0$ e $pi$, e ho trovato che $P'=(5,3);P''=(3,3)$. Essendo le $y>0$, posso dire che il "sottodominio" che ho scelto va bene in quanto contiene la curva(essendo effettivamente le coordinate y dei due punti maggiori di 0)?
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