Integrale finito/infinito ed eventualemente calcolarlo
ciao ragazzi, come da titolo, devo stabilire se l'integrale è finito/infinito ed eventualemente calcolarlo:
l'ho svolto cosi:
PUNTO 1: VERIFICARE SE è FINITO/INFINITO:
$int_0^(pi/2) 1/(cosx)^(pi/2) dx$
l'integrale ha problemi in $pi/2$
cerchiamo se esiste un $alpha in R $ :$ (x-pi/2)^alpha * 1/(cosx)^(pi/2) rarr C $ ${ ( != 0 ),( != oo):}$ per $ x rarrpi/2$
$rArr (x-pi/2)^(2alpha/pi) /(cosx) rarr C $ ${ ( != 0 ),( != oo):}$ per $ x rarrpi/2$
deve essere $alpha>0$ altrimenti la nostra funzione tende a $oo$
utilizziamo de l'hopital:
$(x-pi/2)^(2alpha/pi) /(cosx) =^H -((2alpha/pi)(x-pi/2)^(2alpha-1))/(sinx)$ $rArr-(2alpha/pi)lim_(x -> pi/2) (x-pi/2)^(2alpha-1)/(sinx){ ( != 0 ),( != oo):} hArr alpha=pi/2$
quindi:
$1/(cosx)^(pi/2)~ C/(x-pi/2)^(pi/2)$
e qui mi è sorto un dubbio, questo metodo è utilizzabile per x che tende a infinito e non a un numero finito, o sbaglio?
EDIT: il teorema dice che con f(x) continua in ((a,b]), supponendo che esiste $alpha in R$:
$(x-a)*alpha*f(x)rarrC{ ( != 0 ),( != oo):}$ per $ x rarra^+$
allora $alpha<1 rArr int_a^b f(x) dx <+oo$
$ alpha>=1 rArr int_a^b f(x) dx =+oo$
quindi non potrei utilizzarlo?
l'ho svolto cosi:
PUNTO 1: VERIFICARE SE è FINITO/INFINITO:
$int_0^(pi/2) 1/(cosx)^(pi/2) dx$
l'integrale ha problemi in $pi/2$
cerchiamo se esiste un $alpha in R $ :$ (x-pi/2)^alpha * 1/(cosx)^(pi/2) rarr C $ ${ ( != 0 ),( != oo):}$ per $ x rarrpi/2$
$rArr (x-pi/2)^(2alpha/pi) /(cosx) rarr C $ ${ ( != 0 ),( != oo):}$ per $ x rarrpi/2$
deve essere $alpha>0$ altrimenti la nostra funzione tende a $oo$
utilizziamo de l'hopital:
$(x-pi/2)^(2alpha/pi) /(cosx) =^H -((2alpha/pi)(x-pi/2)^(2alpha-1))/(sinx)$ $rArr-(2alpha/pi)lim_(x -> pi/2) (x-pi/2)^(2alpha-1)/(sinx){ ( != 0 ),( != oo):} hArr alpha=pi/2$
quindi:
$1/(cosx)^(pi/2)~ C/(x-pi/2)^(pi/2)$
e qui mi è sorto un dubbio, questo metodo è utilizzabile per x che tende a infinito e non a un numero finito, o sbaglio?
EDIT: il teorema dice che con f(x) continua in ((a,b]), supponendo che esiste $alpha in R$:
$(x-a)*alpha*f(x)rarrC{ ( != 0 ),( != oo):}$ per $ x rarra^+$
allora $alpha<1 rArr int_a^b f(x) dx <+oo$
$ alpha>=1 rArr int_a^b f(x) dx =+oo$
quindi non potrei utilizzarlo?
Risposte
$ lim_(x -> (pi/2)^-) (1/cosx)^(pi/2)/(1/(pi/2-x)^alpha) $ si calcola facilmente con il cambio di variabile $y=pi/2-x$
grazie della risposta stormy ma non capisco 
se hai un attimo di tempo, riusciresti a svolgere l'esercizio?
se hai un attimo di tempo, riusciresti a svolgere l'esercizio?
se $y=pi/2-x$ allora $x=pi/2-y$
ricordando che $cos(pi/2-y)=seny$ ti riconduci al calcolo di
$ lim_(y -> 0^+) (1/siny)^(pi/2)/(1/y^alpha )$
ricordando che $cos(pi/2-y)=seny$ ti riconduci al calcolo di
$ lim_(y -> 0^+) (1/siny)^(pi/2)/(1/y^alpha )$
Al di là degli ottimi suggerimenti di stormy, sinceramente quel modo di risolvere il limite non è dei migliori. Meglio scrivere
$$(\cos x)^{\pi/2}=\exp\left(\frac{\pi}{2}\log(\cos x)\right)$$
e poi procedere con la sostituzione suggerita da stormy. ($\exp(a)=e^a$).
$$(\cos x)^{\pi/2}=\exp\left(\frac{\pi}{2}\log(\cos x)\right)$$
e poi procedere con la sostituzione suggerita da stormy. ($\exp(a)=e^a$).
in effetti noi non dobbiamo vedere quanto fa il limite al variare di $alpha$, ma capire quando il limite è uguale ad un numero diverso da zero
quindi,direi che va bene la forma nella quale l'ho scritto,perchè è sufficiente a farci capire che deve essere $alpha=pi/2$
l'integrando è un infinito di ordine $pi/2$ e quindi la funzione non è integrabile
quindi,direi che va bene la forma nella quale l'ho scritto,perchè è sufficiente a farci capire che deve essere $alpha=pi/2$
l'integrando è un infinito di ordine $pi/2$ e quindi la funzione non è integrabile
quindi il metodo che ho utilizzato è errato?
è inutilmente complicato(è un mio parere) ; poi tanto per dirne una hai sbagliato quando hai derivato la funzione del tipo $f(x)^(g(x))$(che tra l'altro non ho neanche capito da dove è uscita)
non la puoi derivare come se fosse $a^(g(x))$
se proprio la vuoi derivare la devi porre nella forma $e^(g(x)lnf(x))$
ma ,a mio parere,la strada migliore è sempre la più semplice
non la puoi derivare come se fosse $a^(g(x))$
se proprio la vuoi derivare la devi porre nella forma $e^(g(x)lnf(x))$
ma ,a mio parere,la strada migliore è sempre la più semplice
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