Integrale familiare
$int_0^(pi/2) (senx)^n dx$, $n in NN$
quanto vale quest'integrale? mi sembra che una volta qualcuno già postò la soluzione ma non riesco a trovare quel topic nell'archivio
quanto vale quest'integrale? mi sembra che una volta qualcuno già postò la soluzione ma non riesco a trovare quel topic nell'archivio
Risposte
Se vuoi solo il risultato è
$(2*4*6*...*(n-1))/(3*5*7*...*n)$ se $n$ è dispari, mentre $(3*5*7*...*(n-1))/(2*4*6*...*n)$ se $n$ è pari.
$(2*4*6*...*(n-1))/(3*5*7*...*n)$ se $n$ è dispari, mentre $(3*5*7*...*(n-1))/(2*4*6*...*n)$ se $n$ è pari.
Se n è pari allora il risultato è:
$Pi/2*((n-1)!!)/(n!!)$dove il simbolo !! indica il fattoriale o dei numeri dispari o dei pari e cioè
se n è pari n!!=2*4*6*8*10*...*n ed (n-1)!!=1*3*5*7*...*(n-1)
se n è dispari allora n!!=1*3*5*7*...*n ed (n-1)!!=2*4*6*8*10*...*(n-1)
Se n è dispari il risultato è invece
$((n-1)!!)/(n!!)$
Ovviamente 0!!=1 come nel caso del fattoriale semplice
mentre (-1)!!=1 la qual cosa non ha riscontro invece col caso del fattoriale semplice
Esempi:
n=0 banalmente l'integrale è dato dalla differenza degli estremi di integrazione e cioè Pi/2, e un risultato analogo lo si ha se usiamo il risultato per n pari con la proprietà che 0!!=(-1)!!=1
n=4 comporta un valore pari a Pi/2*3!!/4!!=Pi/2*1*3/(2*4)=3*Pi/16
Se n=5 l'integrale risulta 4!!/5!!=2*4/(1*3*5)=8/15
$Pi/2*((n-1)!!)/(n!!)$dove il simbolo !! indica il fattoriale o dei numeri dispari o dei pari e cioè
se n è pari n!!=2*4*6*8*10*...*n ed (n-1)!!=1*3*5*7*...*(n-1)
se n è dispari allora n!!=1*3*5*7*...*n ed (n-1)!!=2*4*6*8*10*...*(n-1)
Se n è dispari il risultato è invece
$((n-1)!!)/(n!!)$
Ovviamente 0!!=1 come nel caso del fattoriale semplice
mentre (-1)!!=1 la qual cosa non ha riscontro invece col caso del fattoriale semplice
Esempi:
n=0 banalmente l'integrale è dato dalla differenza degli estremi di integrazione e cioè Pi/2, e un risultato analogo lo si ha se usiamo il risultato per n pari con la proprietà che 0!!=(-1)!!=1
n=4 comporta un valore pari a Pi/2*3!!/4!!=Pi/2*1*3/(2*4)=3*Pi/16
Se n=5 l'integrale risulta 4!!/5!!=2*4/(1*3*5)=8/15
Così per saperlo, come si ricava questo risultato?
Credo che si usi il metood standard per integrare funzioni razionali in seno e coseno, ovvero la sostituzione che non ricordo mai... t=log(tan(x/2))?
La sostituzione che si fa è t=tg(x/2). Per cui senx=2t/(1+t^2)
Ecco, lo sapevo di non ricordarla...
"Luca.Lussardi":
Ecco, lo sapevo di non ricordarla...
Ti trovi che nel caso di n pari ci vuole un Pi/2 moltiplicativo nella formula che hai scritto nel tuo post?
Ricontrollerò, ma a occhio può effettivamente essere, visto che il seno integrato dà il coseno e quindi niente $\pi$, mentre il seno al quadrato dà un $\pi$ da qualche parte integrando...
So che magari si tratta solo di passaggi, ma come si fa ad arrivare a dimostrare le formule riportate all'inizio?
O vai sperimentalemnte per tentativi e ti rendi condo della correlazione dei risultati che si hanno per n pari o dispari oppure puoi esprimerti il seno nel suo sviluppo di taylor ed integrare per serie. Tale dimostrazione rigorosa è complicata però.
"nicasamarciano":
O vai sperimentalemnte per tentativi e ti rendi condo della correlazione dei risultati che si hanno per n pari o dispari oppure puoi esprimerti il seno nel suo sviluppo di taylor ed integrare per serie. Tale dimostrazione rigorosa è complicata però.
Mi ero immaginato qualcosa per induzione invece... grazie
Un altro modo sarebbe quello di sfruttare le proprietà delle funzioni trigonometriche:
in particolare per n pari si può far vedere che ogni funzione del tipo sen(x)^n può scriversi in tal modo:
sen(x)^n=a+bcos(2x)+c*cos(4x)+dcos(6x)+...+hcos(nx).
Infatti sen(x)^n=(sen(x)^2)^(n/2). Ora ricordiamo che sen(x)^2=(1-cos(2x))/2. Ora n/2 è ancora pari per cui lo riscriviamo così: n/2=2*(n/4). Facendo man mano i quadrati fino a che arriviamo all'indice n come esponente otteniamo sempre funzioni trigonometriche del tipo cos(kx) con k pari. Questa è una spiegazione. L'espressione
sen(x)^n=a+bcos(2x)+c*cos(4x)+dcos(6x)+...+hcos(nx) la troviamo analogamente se sviluppiamo in serie di Fourier la funzione pari sen(x)^n. In tal caso allora l'integrale di sen(x)^n con n pari è:
ax+b'sen(2x)+c'*sen(4x)+d'sen(6x)+...+h'sen(nx). Tutti i seni valutati in 0 e Pi/2 danno contributo nullo per cui il valore dell'integrale sarà pari a: a*(Pi/2-0)=a*Pi/2
Se n è dispari possiamo scrivere sen(x)^n in tal modo:
sen(x)^n=a*sen(x)+bsen(3x)+c*sen(5x)+...+hsen(nx). Lo giustifichiamo col fatto che è l'espansione in serie di Fourier della funzione dispari sen(x)^n. L'integrale sarà allora pari a:
a'*cos(x)+b'*cos(3x)+...+h'*cos(nx) che valutato tra 0 e Pi/2 da come risultato: -(a'+b'+..+h') dove i coefficienti a,b,c,d,h,a',b',c',h' sono positivi e negativi.
Anche per induzione si può provare riportandosi iterativamente all'integrale calcolato in precedenza.
in particolare per n pari si può far vedere che ogni funzione del tipo sen(x)^n può scriversi in tal modo:
sen(x)^n=a+bcos(2x)+c*cos(4x)+dcos(6x)+...+hcos(nx).
Infatti sen(x)^n=(sen(x)^2)^(n/2). Ora ricordiamo che sen(x)^2=(1-cos(2x))/2. Ora n/2 è ancora pari per cui lo riscriviamo così: n/2=2*(n/4). Facendo man mano i quadrati fino a che arriviamo all'indice n come esponente otteniamo sempre funzioni trigonometriche del tipo cos(kx) con k pari. Questa è una spiegazione. L'espressione
sen(x)^n=a+bcos(2x)+c*cos(4x)+dcos(6x)+...+hcos(nx) la troviamo analogamente se sviluppiamo in serie di Fourier la funzione pari sen(x)^n. In tal caso allora l'integrale di sen(x)^n con n pari è:
ax+b'sen(2x)+c'*sen(4x)+d'sen(6x)+...+h'sen(nx). Tutti i seni valutati in 0 e Pi/2 danno contributo nullo per cui il valore dell'integrale sarà pari a: a*(Pi/2-0)=a*Pi/2
Se n è dispari possiamo scrivere sen(x)^n in tal modo:
sen(x)^n=a*sen(x)+bsen(3x)+c*sen(5x)+...+hsen(nx). Lo giustifichiamo col fatto che è l'espansione in serie di Fourier della funzione dispari sen(x)^n. L'integrale sarà allora pari a:
a'*cos(x)+b'*cos(3x)+...+h'*cos(nx) che valutato tra 0 e Pi/2 da come risultato: -(a'+b'+..+h') dove i coefficienti a,b,c,d,h,a',b',c',h' sono positivi e negativi.
Anche per induzione si può provare riportandosi iterativamente all'integrale calcolato in precedenza.
Si, almeno a me questa pare la dimostrazione più logica...
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