Integrale 'facile'... o quasi...
Cari amici
tempo fà, tanto per 'buttarla lì, ho proposto il seguente integrale...
$int_0^(+oo) e^(-t)* ln^2 t*dt$ (1)
Dell'integrale (1) conosco il valore ma ogni mio tentativo di 'risolverlo' ha finora 'fatto cilecca'. Dal momento che la sua soluzione potrebbe aprire delle 'strade importanti' lo propongo alla vostra attenzione. Qualcuno può suggerirmi qualcosa?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
tempo fà, tanto per 'buttarla lì, ho proposto il seguente integrale...
$int_0^(+oo) e^(-t)* ln^2 t*dt$ (1)
Dell'integrale (1) conosco il valore ma ogni mio tentativo di 'risolverlo' ha finora 'fatto cilecca'. Dal momento che la sua soluzione potrebbe aprire delle 'strade importanti' lo propongo alla vostra attenzione. Qualcuno può suggerirmi qualcosa?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
Mi ricordo di questo integrale. Se non sbaglio si parlava anche di trasformazione di Laplace. E in effetti si potrebbe vedere il problema come il calcolo della trasformata unilatera di Laplace di $ln^2(t)$ per $s=1$...
Esatto caro Kroldar!...
In effetti è proprio cosultando le tavole della Trasformata di Laplace che ho 'scoperto' il valore dell'integrale. A pag. 250 di M. R. Spiegel, Laplace Tansforms, McGrow-Hill Inc. è riportato...
$L[ln^2 t]= (pi^2)/(6*s) + (gamma + ln s)^2/s$ (1)
... in cui $gamma=.5772156...$ è la costante di Eulero. Ponendo nella (1) $s=1$ si ha...
$int_0^(+oo) e^(-t)*ln^2 t*dt= (pi^2)/6 + gamma^2$ (2)
Quello che non sono riuscito finora a fare è stato costruire il 'meccanismo' con il quale è stata calcolata la (1)...
Hai un'idea di come si può fare?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
In effetti è proprio cosultando le tavole della Trasformata di Laplace che ho 'scoperto' il valore dell'integrale. A pag. 250 di M. R. Spiegel, Laplace Tansforms, McGrow-Hill Inc. è riportato...
$L[ln^2 t]= (pi^2)/(6*s) + (gamma + ln s)^2/s$ (1)
... in cui $gamma=.5772156...$ è la costante di Eulero. Ponendo nella (1) $s=1$ si ha...
$int_0^(+oo) e^(-t)*ln^2 t*dt= (pi^2)/6 + gamma^2$ (2)
Quello che non sono riuscito finora a fare è stato costruire il 'meccanismo' con il quale è stata calcolata la (1)...
Hai un'idea di come si può fare?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Trovo evidente il legame con la funzione Gamma. In particolare, l'integrale che vorresti calcolare, equivale al valore che la derivata seconda della funzione Gamma assume nel punto $1$. Calcolarlo a mano però mi sembra sia tutt'altro che semplice 
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