Integrale facile
Non riesco a risolvere il seguente integrale:
$\int_{-infty}^{infty} sqrt(1+u^2) du$
correggetemi se sbaglio: si fa la sostituzione $ 1+u^2 = t^2$, da cui $udu=tdt$, e $du=\frac{tdt}{u}$, dove
$u=sqrt(t^2-1)$, poi integro per parti e faccio una nuova sostituzione di $t^2$ con coseno al quadrato e dopo
mi ritrovo una quantità negativa sotto radice...dov'è l'errore?
$\int_{-infty}^{infty} sqrt(1+u^2) du$
correggetemi se sbaglio: si fa la sostituzione $ 1+u^2 = t^2$, da cui $udu=tdt$, e $du=\frac{tdt}{u}$, dove
$u=sqrt(t^2-1)$, poi integro per parti e faccio una nuova sostituzione di $t^2$ con coseno al quadrato e dopo
mi ritrovo una quantità negativa sotto radice...dov'è l'errore?
Risposte
$$ radp $$
prova con x=tan(t)...
ciao
ciao
io l'ho trovato sulle tabelle come un integrale immediato
$\int \sqrt{1+x^2}dx=x/2\sqrt{1+X^2}+1/2ln|x+\sqrt{1+x^2}|+c$
anche se per sostituzione è un casino secondo me.....forse $x=\sinht$
$\int \sqrt{1+x^2}dx=x/2\sqrt{1+X^2}+1/2ln|x+\sqrt{1+x^2}|+c$
anche se per sostituzione è un casino secondo me.....forse $x=\sinht$
"ELWOOD":
io l'ho trovato sulle tabelle come un integrale immediato
$\int \sqrt{1+x^2}dx=x/2\sqrt{1+X^2}+1/2ln|x+\sqrt{1+x^2}|+c$
anche se per sostituzione è un casino secondo me.....forse $x=\sinht$
Il problema è quello, come ci si arriva?
Valutato tra meno infinito e più infinito?
sinceramente non lo so, il mio libro usa quella sostituzione che ho indicato ma non mostra nessun passaggio....ci vorrebbe qualche matematico in aiuto
Ragazzi, credo che abbia ragione Cauchy: vi conviene provare $u=tg(t)$.
Si inizia per parti utilizzando $sqrt(1+u^2)$ come fattore finito e $ du$ come fattore differenziale e poi il termine $1/sqrt(1+u^2)$ si integra per sostituzione ponendo $sqrt(1+u^2)=-u+x$
(Consigli del mio vecchio Zwirner di Analisi che non è mai abbastanza vecchio...
)
(Consigli del mio vecchio Zwirner di Analisi che non è mai abbastanza vecchio...
)
Io mi trovo un risultato leggermente diverso:
se eseguo la sostituzione $u = i \ sin\ t$ da cui $du = i \ cos \ t \ dt$ ho:
$int sqrt(1+u^2) du = int sqrt(1+i^2sin^2t) \ \ \i \ cos t \ \ dt$
poiché è $i^2 = -1$, ho
$int sqrt(1+u^2) du = int sqrt(1 - sin^2t) \ \ \i \ cos t \ \ dt$, che è
$int sqrt(cos^2t) \ \ \i \ cos t \ \ dt$, ovvero
$int cost \ \ \i \ cos t \ \ dt$
$\ i\ int cos^2t \ \ dt$
che, utilizzando la formula di bisezione per il coseno dà:
$\ \ 1/2 t + sen\ t\ cos\ t$, nella quale sostituendo le sostituzioni, dà:
$\ \ 1/2 arsen \ u + u sqrt(1+u^2)$
Ho provato a derivare la formula trovata e il risultato mi sembra ugualmente corretto. Dovrebbe essere questa la soluzione.
se eseguo la sostituzione $u = i \ sin\ t$ da cui $du = i \ cos \ t \ dt$ ho:
$int sqrt(1+u^2) du = int sqrt(1+i^2sin^2t) \ \ \i \ cos t \ \ dt$
poiché è $i^2 = -1$, ho
$int sqrt(1+u^2) du = int sqrt(1 - sin^2t) \ \ \i \ cos t \ \ dt$, che è
$int sqrt(cos^2t) \ \ \i \ cos t \ \ dt$, ovvero
$int cost \ \ \i \ cos t \ \ dt$
$\ i\ int cos^2t \ \ dt$
che, utilizzando la formula di bisezione per il coseno dà:
$\ \ 1/2 t + sen\ t\ cos\ t$, nella quale sostituendo le sostituzioni, dà:
$\ \ 1/2 arsen \ u + u sqrt(1+u^2)$
Ho provato a derivare la formula trovata e il risultato mi sembra ugualmente corretto. Dovrebbe essere questa la soluzione.
Ci sono arrivato.
Bisogna sostituire $u = sinh(t)$, $du=cosh(t)dt$, $t= arcsinh(u) = ln(u + sqrt(1+u^2))$. Ricordando che
$(cosh(t))^2-(sinh(t))^2=1$ e che $D[sinh(t)]=cosh(t)$, $D[cosh(t)]=sinh(t) $ abbiamo:
$\int sqrt(1+u^2) du = \int sqrt(1+ sinh(t))cosh(t) dt =$
$\int (cosh(t))^2dt = sinh(t)cosh(t) -\int (sinh(t)^2dt =$
$sinh(t)cosh(t) -\int [(cosh(t)^2-1]dt$ segue che
$\int (cosh(t))^2dt =1/2(sinh(t)cosh(t) + t) + C =$
$1/2(usqrt(1+u^2) + ln(u + sqrt(1+u^2)) + C$
Il problema adesso è che l'esercizio mi chiede di valutarlo per u che va da meno infinito
a più infinito...
Bisogna sostituire $u = sinh(t)$, $du=cosh(t)dt$, $t= arcsinh(u) = ln(u + sqrt(1+u^2))$. Ricordando che
$(cosh(t))^2-(sinh(t))^2=1$ e che $D[sinh(t)]=cosh(t)$, $D[cosh(t)]=sinh(t) $ abbiamo:
$\int sqrt(1+u^2) du = \int sqrt(1+ sinh(t))cosh(t) dt =$
$\int (cosh(t))^2dt = sinh(t)cosh(t) -\int (sinh(t)^2dt =$
$sinh(t)cosh(t) -\int [(cosh(t)^2-1]dt$ segue che
$\int (cosh(t))^2dt =1/2(sinh(t)cosh(t) + t) + C =$
$1/2(usqrt(1+u^2) + ln(u + sqrt(1+u^2)) + C$
Il problema adesso è che l'esercizio mi chiede di valutarlo per u che va da meno infinito
a più infinito...
fai il mimite... trovi infinito.... oppure... guarda il grafico di $ radq(1+x^2) $ l'area sotto la curva é l'integrale...
CIAOO
CIAOO
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