Integrale 'facile'...
Si chiede il calcolo del seguente integrale definito...
$int_0^1 (t*lnt)/(1-t)*dt$ (1)
... illustrando però il procedimento seguito e... se possibile... 'giustificandolo'...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$int_0^1 (t*lnt)/(1-t)*dt$ (1)
... illustrando però il procedimento seguito e... se possibile... 'giustificandolo'...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
"lupo grigio":
Si chiede il calcolo del seguente integrale definito...
$int_0^1 (t*lnt)/(1-t)*dt$ (1)
... illustrando però il procedimento seguito e... se possibile... 'giustificandolo'...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Per $0
Ora $int_{0}^{1}t^(m+1)*lntdt=[t^(m+2)/(m+2)*lnt]_{0}^{1}-int_{0}^{1}t^(m+2)/(m+2)*1/tdt=[t^(m+2)/(m+2)*lnt]_{0}^{1}-int_{0}^{1}t^(m+1)/(m+2)dt$=
$[t^(m+2)/(m+2)*lnt]_{0}^{1}-[t^(m+2)/(m+2)^2]_{0}^{1}$.
Ora dal momento che $m+2>0$ allora $lim_(t->0)t^(m+2)/(m+2)*lnt=0$ per cui $[t^(m+2)/(m+2)*lnt]_{0}^{1}=0$ ed inoltre $[t^(m+2)/(m+2)^2]_{0}^{1}=1/(m+2)^2$, per cui
$int_0^1 (t*lnt)/(1-t)*dt=sum_{m=0}^{infty}-1/(m+2)^2=-sum_{m=0}^{infty}1/(m+2)^2=-sum_{k=2}^{infty}1/(k^2)$=
$-(sum_{k=1}^{infty}1/(k^2)-1)=-(pi^2/6-1)=1-pi^2/6$ dal momento che
$sum_{k=1}^{infty}1/(k^2)=pi^2/6$
Solo un passaggio è poco giustificato: lo scambio tra serie ed integrale.
Sotto quali condizioni è possibile fare il passaggio Luca?
E' una cosa che ho fatto anche io qui: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 439#101439
E' una cosa che ho fatto anche io qui: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 439#101439
Ok... perfetto!... un metodo alternativo più 'facile' [in apparenza...] sarebbe quello di sfruttare la seguente 'identità'...
$t/(1-t)= (t+1-1)/(1-t)= -1+1/(1-t)$ (1)
... e calcolare l'integrale come...
$int_0^1 (t*ln t)/(1-t)*dt= - int_0^1 ln t * dt +int_0^1 ln t/(1-t)*dt$ (2)
Si trova poi che è...
$int_0^1 ln t * dt=-1$
$int_0^1 ln t/(1-t)*dt= - sum_(k=1)^(+oo) 1/k^2= -pi^2/6$ (3)
... per cui...
$int_0^1 (t*ln t)/(1-t)*dt = 1-pi^2/6$ (4)
Domanda: è corretta o no l'impostazione da me seguita?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
P.S. opss!... vedo ora che si sono inseriti prima di me altri... meglio così!...
$t/(1-t)= (t+1-1)/(1-t)= -1+1/(1-t)$ (1)
... e calcolare l'integrale come...
$int_0^1 (t*ln t)/(1-t)*dt= - int_0^1 ln t * dt +int_0^1 ln t/(1-t)*dt$ (2)
Si trova poi che è...
$int_0^1 ln t * dt=-1$
$int_0^1 ln t/(1-t)*dt= - sum_(k=1)^(+oo) 1/k^2= -pi^2/6$ (3)
... per cui...
$int_0^1 (t*ln t)/(1-t)*dt = 1-pi^2/6$ (4)
Domanda: è corretta o no l'impostazione da me seguita?...
cordiali saluti
lupo grigio
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P.S. opss!... vedo ora che si sono inseriti prima di me altri... meglio così!...
"Luca.Lussardi":
Solo un passaggio è poco giustificato: lo scambio tra serie ed integrale.
il teorema che permette ciò mi sembra vada sotto il nome di teorema sulla convergenza dominata. ma certamente o con molta probabilità mi sbaglio. per cui luca chiedo a te , che sei un esperto, di enunciarlo per cortesia. grazie.
"lupo grigio":
Ok... perfetto!... un metodo alternativo più 'facile' [in apparenza...] sarebbe quello di sfruttare la seguente 'identità'...
$t/(1-t)= (t+1-1)/(1-t)= -1+1/(1-t)$ (1)
... e calcolare l'integrale come...
$int_0^1 (t*ln t)/(1-t)*dt= - int_0^1 ln t * dt +int_0^1 ln t/(1-t)*dt$ (2)
Si trova poi che è...
$int_0^1 ln t * dt=-1$
$int_0^1 ln t/(1-t)*dt= - sum_(k=1)^(+oo) 1/k^2= -pi^2/6$ (3)
... per cui...
$int_0^1 (t*ln t)/(1-t)*dt = 1-pi^2/6$ (4)
Domanda: è corretta o no l'impostazione da me seguita?...
cordiali saluti
lupo grigio
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P.S. opss!... vedo ora che si sono inseriti prima di me altri... meglio così!...
perchè ti poni la domanda? hai dei dubbi sul tuo procedimento? se sì, quale è il dubbio?
Per fireball: Il Teorema di integrazione per serie è una banale conseguenza del Teorema della convergenza monotona di Beppo Levi. Esso afferma che se $f_h$ è una successione di funzioni misurabili definite su $\RR^n$ e positive, allora posto $f(x)=\sum_(h=0)^(+\infty)f_h(x)$, la funzione $f$ è misurabile e si ha $\int_(\RR^n) f dx=\sum_(h=0)^(+\infty)\int_(\RR^n)f_h(x)dx$, dove l'integrale è quello di Lebesgue.
Per lupo grigio: va quasi tutto bene a parte il fatto che gli integrali che hai trattato sono tutti impropri, e quindi non puoi operare con essi come hai fatto senza prima accertarti che siano convergenti. Quindi hai due possibiltà: o studi prima la convergenza, e quindi operi come hai fatto, oppure operi su un intervallo del tipo $(\epsilon,1-\epsilon)$ nel qual caso hai un integrale "proprio", e poi passi al limite.
Per lupo grigio: va quasi tutto bene a parte il fatto che gli integrali che hai trattato sono tutti impropri, e quindi non puoi operare con essi come hai fatto senza prima accertarti che siano convergenti. Quindi hai due possibiltà: o studi prima la convergenza, e quindi operi come hai fatto, oppure operi su un intervallo del tipo $(\epsilon,1-\epsilon)$ nel qual caso hai un integrale "proprio", e poi passi al limite.
L’aspetto ‘formale’ che giustifica il procedimento di 'nicasa' è stato già a suo tempo da me affrontato e risolto in
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... highlight=
… dove si arriva alle seguenti due ‘formule generali’ con le quali affrontare integrali di questo genere contenenti la funzione logaritmo…
$int_0^1 t^m*ln^n t*dt= (-1)^n*(n !)/((m+1)^(n+1)$ (1)
$int_0^1 (ln^n t)/(1-t)*dt= (-1)^n*n!*sum_(k=1)^(+oo) 1/k^(n+1)$ (2)
Il 'dubbio’ invece che mi rode, assai più insidioso, riguarda la ‘identità’ che io ho dato nella premessa e che qui riporto in dettaglio…
$t/(1-t)= (t+1-1)/(1-t)= -(1-t)/(1-t) +1/(1-t)=-1+1/(1-t)$ (3)
Ebbene nel terzo passaggio ho commesso un ‘terribile errore’ in quanto ho scritto che $(1-t)/(1-t)=1$, cosa che non si può assolutamente fare visto che $t=1$ è un punto dell’intervallo di integrazione [vedi discussione ‘perditempo’ di questa mattina…]. Nicasa, secondo te, è il caso che vada a confessare questo mio ‘peccato’ dal prete?…
cordiali saluti
lupo grigio
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https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... highlight=
… dove si arriva alle seguenti due ‘formule generali’ con le quali affrontare integrali di questo genere contenenti la funzione logaritmo…
$int_0^1 t^m*ln^n t*dt= (-1)^n*(n !)/((m+1)^(n+1)$ (1)
$int_0^1 (ln^n t)/(1-t)*dt= (-1)^n*n!*sum_(k=1)^(+oo) 1/k^(n+1)$ (2)
Il 'dubbio’ invece che mi rode, assai più insidioso, riguarda la ‘identità’ che io ho dato nella premessa e che qui riporto in dettaglio…
$t/(1-t)= (t+1-1)/(1-t)= -(1-t)/(1-t) +1/(1-t)=-1+1/(1-t)$ (3)
Ebbene nel terzo passaggio ho commesso un ‘terribile errore’ in quanto ho scritto che $(1-t)/(1-t)=1$, cosa che non si può assolutamente fare visto che $t=1$ è un punto dell’intervallo di integrazione [vedi discussione ‘perditempo’ di questa mattina…]. Nicasa, secondo te, è il caso che vada a confessare questo mio ‘peccato’ dal prete?…
cordiali saluti
lupo grigio
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"lupo grigio":
Il 'dubbio’ invece che mi rode, assai più insidioso, riguarda la ‘identità’ che io ho dato nella premessa e che qui riporto in dettaglio…
$t/(1-t)= (t+1-1)/(1-t)= -(1-t)/(1-t) +1/(1-t)=-1+1/(1-t)$ (3)
Ebbene nel terzo passaggio ho commesso un ‘terribile errore’ in quanto ho scritto che $(1-t)/(1-t)=1$, cosa che non si può assolutamente fare visto che $t=1$ è un punto dell’intervallo di integrazione [vedi discussione ‘perditempo’ di questa mattina…]. Nicasa, secondo te, è il caso che vada a confessare questo mio ‘peccato’ dal prete?…
la discussione perditempo di stamane è tutta "merito" tuo
vedo che continui, come un bambino capriccioso
do, non a te, cui non interessano le risposte argomentate, ma agli utenti del forum, due risposte
risposta per i più piccoli: $(1-t)/(1-t)$ non è definita in $1$ ma è prolungabile per continuità in $1$, quindi nessun problema per l'integrale di Riemann (o di Cauchy che sia)
risposta per i più grandi: $(1-t)/(1-t)$ e $1$ coincidono quasi ovunque in un intorno di $0$, quindi che perdiamo tempo a fare?
Caro Patrone
tu non puoi neanche immaginare la prostrazione che ho provato allorchè sono stato accusato nientemeno che di 'fuorviare la gioventù'
Per alleviare un poco questo mio dolore [si tratta, ti assicuro, di una vera e propria 'opera di misericordia'...] rassicurami almeno su due cose...
La prima [decisamente banale...]: posso da ora in poi senza patemi d'animo supporre che sia sempre e in ogni caso $(t-a)/(t-a)=1$ senza finire su qualche 'buccia di banana'?...
La seconda [di gran lunga più fondamentale...]: devo rendermi conto di aver comesso 'peccato mortale' e correre subito in confessionale?...
cordiali saluti
lupo grigio
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tu non puoi neanche immaginare la prostrazione che ho provato allorchè sono stato accusato nientemeno che di 'fuorviare la gioventù'
Per alleviare un poco questo mio dolore [si tratta, ti assicuro, di una vera e propria 'opera di misericordia'...] rassicurami almeno su due cose...
La prima [decisamente banale...]: posso da ora in poi senza patemi d'animo supporre che sia sempre e in ogni caso $(t-a)/(t-a)=1$ senza finire su qualche 'buccia di banana'?...
La seconda [di gran lunga più fondamentale...]: devo rendermi conto di aver comesso 'peccato mortale' e correre subito in confessionale?...
cordiali saluti
lupo grigio
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