Integrale f. razionale
Buongiorno,
sto facendo la parte relativa agli integrali di funzioni razionali con il denominatore con zeri reali.
In questo caso devo risolvere un integrale con il denominatore che ammette radici reali multiple.
$ int (3x-1)/(x^3-5x^2+8x-4) dx $
Il procedimento spiegato dal professore è il seguente:
"I numeri 1 e 2 sono radici di $ f(x) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4$. Quindi per ruffini f(x) è divisibile per $(x-1)(x-2)$. Se adesso facciamo la divisione fra f(x) e $(x-1)(x-2)$ si vede che il quoziente è (x-2). Pertanto si ha: $ x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = (x-1)(x-2)^2$. Quindi (utilizzando il principio di identità dei polinomi, nrd) si ha:
$ (3x-1)/(x^3 - 5x^2 + 8x -4) = A/(x-1) + B/(x-2) + C/(x-2)^2 $
Ciò che non capisco è come mai il denominatore di C viene elevato al quadrato. Spero che qualcuno mi spieghi meglio questo passaggio, grazie.
sto facendo la parte relativa agli integrali di funzioni razionali con il denominatore con zeri reali.
In questo caso devo risolvere un integrale con il denominatore che ammette radici reali multiple.
$ int (3x-1)/(x^3-5x^2+8x-4) dx $
Il procedimento spiegato dal professore è il seguente:
"I numeri 1 e 2 sono radici di $ f(x) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4$. Quindi per ruffini f(x) è divisibile per $(x-1)(x-2)$. Se adesso facciamo la divisione fra f(x) e $(x-1)(x-2)$ si vede che il quoziente è (x-2). Pertanto si ha: $ x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = (x-1)(x-2)^2$. Quindi (utilizzando il principio di identità dei polinomi, nrd) si ha:
$ (3x-1)/(x^3 - 5x^2 + 8x -4) = A/(x-1) + B/(x-2) + C/(x-2)^2 $
Ciò che non capisco è come mai il denominatore di C viene elevato al quadrato. Spero che qualcuno mi spieghi meglio questo passaggio, grazie.
Risposte
Se la radice è semplice come nel caso di $x=1 $ allora la scomposizione in fratti semplici conterrà il termine $A/(x-1) $.
Se invece la radice è doppia, come nel caso $x=2 $ la scomposizione sarà : $B/(x-2)+C/(x-2)^2 $.
In generale se la radice $ alpha $ è di molteplicità $ m $ si avrà la scomposizione :$A_1/(x-alpha)+A_2/(x-alpha)^2+A_3/(x-alpha) ^3 +...... +A_m/(x-alpha)^m $.
Se invece la radice è doppia, come nel caso $x=2 $ la scomposizione sarà : $B/(x-2)+C/(x-2)^2 $.
In generale se la radice $ alpha $ è di molteplicità $ m $ si avrà la scomposizione :$A_1/(x-alpha)+A_2/(x-alpha)^2+A_3/(x-alpha) ^3 +...... +A_m/(x-alpha)^m $.
grazie per la risposta chiara e veloce.
Scusate l'intromissione ma l'argomento mi sembra adeguato...e quand'è precisamente che anzichè $ A/(...)+B/(...) $ dovrei usare $ A/(...)+(Bx)/(...) $ ?
Dovresti usare $A+Bx $ se il denominatore è un polinomio di secondo gradi irriducibile cioè senza radici reali ma complesse coniugate, es $(A+Bx)/(x^2+x+1) $ .
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