Integrale esteso all'intersezione di 3 cerchi

[sguerrini97]

Buonasera, sono alle prime armi con gli esercizi di analisi 2 e ho difficoltà a ricavare gli estremi di integrazione per questo:

L'integrale di $ 1/(sqrt(x^2+y^2)) $ esteso alla regione interna a $ x^2+y^2=1 $ ed esterna ai due cerchi $ x^2+y^2-2y=0 $ e $ x^2+y^2+2y=0 $

Ho chiara graficamente la regione della quale devo trovare l'area ma non ho idea di come ricavare gli estremi. Grazie

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Hai anche difficoltà a scegliere la sezione giusta di un forum. Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[Plepp]

Chiamiamo $D$ la regione di piano sulla quale devi integrare. Scrivere $D$ in coordinate polari è un po' scomodo, per cui io procederei così: innanzitutto, per questioni di simmetria (dell'integranda e di $D$), si ha
\[\iint_D\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=4\iint_{D'}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]
dove $D':=D\cap\{x\ge 0,y\ge 0\}$. E' semplice ora rappresentare $D'$ in coordinate polari:
\[\begin{cases}
x^2+y^2\le 1\\
x^2+y^2-2y\ge 0
\end{cases}
\to
\begin{cases}
\rho^2\le 1\\
\rho^2-2\sin \theta\ge 0
\end{cases}
\to
\begin{cases}
\rho\le 1\\
\rho\ge \sqrt{2\sin \theta},\ \theta\in [0,\pi/6]
\end{cases}
\]
Sono state escluse le coppie $(\rho,theta)\in [0,+\infty)\times [0,\pi/2]$ con $\theta>\pi/6$, poiché se $\theta>\pi/6$ si ha $\sqrt{2\sin\theta}>1$ e quindi non possono essere soddisfatti simultaneamente entrambi i vincoli $\rho \le 1$ e $\rho\ge \sqrt{2\sin \theta}$.

Dunque $D'$ si scrive in coordinate polari come
\[\{(\rho,\theta):\sqrt{2\sin\theta} \le \rho\le 1,\ 0\le \theta\le \pi/6\}\]
e infine
\[\iint_{D'}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{0}^{\pi/6}\int_{\sqrt{2\sin\theta}}^1\dfrac{1}{\rho}\,\rho\, \mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta=\int_{0}^{\pi/6}\int_{\sqrt{2\sin\theta}}^1\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta\]

[sguerrini97]

Avevo notato la simmetria ma immagino di non essere ancora abbastanza pratico per arrivarci da solo, grazie della risposta. Comunque credo tu ti sia perso un rho nella trasformazione di $ S' $ in coordinate polari:

$ S' = \{(x^2+y^2<=1), (x^2+y^2-2y>=0), (y>=0), (x>=0):} => \{(\rho^2<=1), (\rho^2-2\rhosin(\theta)>=0):} => \{(0<=\rho<=1), (\rho>=2\rhosin(\theta)), (0<=2sin(\theta)<=1 => 0<=\theta<=pi/6):} $

Quindi:

$ int int_S 1/sqrt(x^2+y^2) dxdy = 4 int_0^(pi/6) int_(2sin(\theta))^1 1/sqrt(\rho^2)*\rho d\rhod\theta = 4 int_0^(pi/6) int_(2sin(\theta))^1 1d\rhod\theta $

Risultato $ 2/3pi+4(sqrt(3)-2) $ come da soluzione
Grazie ancora

[Plepp]

Oh, hai ragione. Erano pur sempre le 3:30