Integrale esteso a D

[gabyaki881]

ho questo integrale da risolvere $int_(D)1/(sqrt(y^2-x^2))dxdy$ dove D={$x<=y<=x+2 , -x<=y<=-x+4$} ...non ho usato il cambio di variabile (non so se è necessario) ed ho posto la risoluzione così: $int_(-1)^(2)dx int_(-x)^(-x+4)1/(sqrt(y^2-x^2))dy$ ... procedo bene??

[ciampax]

Ma il dominio hai provato a disegnarlo? Guarda che devi fare un po' di conti e spezzarlo in due domini normali, altrimenti non vai da nessuna parte. In ogni caso, porre $x+y=u,\ y-x=v$ sarebbe cosa buona e giusta.

[gabyaki881]

in effetti l'ho disegnato ed ho fatto il cambiamento proprio come hai fatto tu, poi per trovarmi lo jacobiano mi sono fatto in sistema x+y=u e y-x=v , e mi sono esplicitato y e x in funzione di u e v : $ { ( x=u-y ),( y-u+y=v ):} $ , $ { ( x=u-y ),( y=v/2+u/2 ):} $ $ { ( x=-v/2+u/2 ),( y=v/2+u/2 ):} $ , quindi lo jacobiano mi da $1/8$ . Il nuovo dominio è {$0<=v<=2 , 0<=u<=4$}

[gabyaki881]

allora effettuando tutte le sostituzioni mi viene $int_(D')1/(sqrt(uv))1/8 dudv = int_(0)^(4)[int_(0)^(2)1/8 1/(sqrt(uv))dv]du = int_(0)^(4) [1/8 2 sqrt(uv)]_(0)^(2) du = int_(0)^(4) 1/4 sqrt(2u) du = [sqrt(2) 1/4 2/3 u^(2/3) ]_(0)^(4) = 1/3 2^(5/6) $ ... fine

[ciampax]

Lo Jacobiano vale $1/2$. Le limitazioni sono giuste. Ma con l'integrale ci hai proprio litigato!

$\int_0^2[\int_0^4\frac{du}{2\sqrt{uv}}]\ dv=1/2\cdot\int_0^2\frac{dv}{\sqrt{v}}\cdot\int_0^4\frac{du}{\sqrt{u}}=1/2\cdot2\sqrt{v}|_0^2\cdot 2\sqrt{u}|_0^4=\sqrt{2}\cdot 4=4\sqrt{2}$

[gabyaki881]

grazie ciampax chiaro gentile e disponibile come sempre