Integrale esponenziale...

[Danying]

Salve, sto provando a svolgere un integrale... di cui sconosco l'entità.

Volevo svolgerlo e mi serviva una "dritta un chiarimento teorico" su come affrontare tale esercizio......


$int (e^x+1)/(e^(2x)+1) dx=$


grazie per eventuali chiarimenti...

cordiali saluti.

[fireball1]

Poni $e^x=t$

[Danying]

"fireball":Poni $e^x=t$

questa risoluzione sarebbe errata ??



$int (t+1)/(t^2+1) dx= $ $ 1/2 * int(2t+1)/(t^2+1)dx=$

thankx fireball!

[fireball1]

Devi cambiare il differenziale però... E comunque i passaggi che hai fatto sono sbagliati.

[Luc@s]

ma se [tex]e^x=t[/tex] allora [tex]dx[/tex] cosa sarà ora?

[Danying]

"fireball":Devi cambiare il differenziale però... E comunque i passaggi che hai fatto sono sbagliati.

dimenticavo il differenziale....

cmq così come andrebbe...?
$e^x dx= dt$ $->$ $ dx= dt/e^x$

[fireball1]

Li hai studiati gli integrali per sostituzione o no?

[Danying]

"fireball":Li hai studiati gli integrali per sostituzione o no?

si

.... l'ho fatto sempre così il differenziale...


ps: magari potresti scrivere qualche passaggio per chiarirmi un pò le idee...???

[Fox4]

"mat100":
cmq così come andrebbe...?
$e^x dx= dt$ $->$ $ dx= dt/e^x$

il concetto è che vuoi cambiare variabile: vuoi esprimere la variazione di [tex]x[/tex] in funzione della variazione di [tex]t[/tex],
tu hai messo la variazione di [tex]x[/tex] in funzione di [tex]x[/tex] e [tex]t[/tex].

Cmq ci sei, poi sostituisci tutto dentro l'integrale.

[Danying]

"Fox":

il concetto è che vuoi cambiare variabile: vuoi esprimere la variazione di [tex]x[/tex] in funzione della variazione di [tex]t[/tex],
tu hai messo la variazione di [tex]x[/tex] in funzione di [tex]x[/tex] e [tex]t[/tex].

Cmq ci sei, poi sostituisci tutto dentro l'integrale.

$int(t+1)/(t^2+1) *dt/(e^x)= 1/e^x int(t+1)/(t^2+1) *dt$ ?'

se c'è qualche "boiata" non fate caso, sono in fase di "apprensione"

thkx.

[Gi81]

Se $t=e^x$ allora $x=ln(t) rArr dx=(1/t)dt$

[Danying]

"Gi8":Se $t=e^x$ allora $x=ln(t) rArr dx=(1/t)dt$

sostituendo $int (t+1)/(t^2+1)*1/t dt= int1/(t+1) dt= log |1+t|+c $ ; e poi la sostituzione alla t ..;

cmq .faccio confusione nella sostituzione $e^(2x)$ ...penso sia un errore grossolano considerarla $ t^(2log(t))$ ??

grazie dei chiarimenti

[pater46]

"mat100":[quote="Gi8"]Se $t=e^x$ allora $x=ln(t) rArr dx=(1/t)dt$

sostituendo $int (t+1)/(t^2+1)*1/t dt= int1/(t+1) dt= log |1+t|+c $ ; e poi la sostituzione alla t ..;

cmq .faccio confusione nella sostituzione $e^(2x)$ ...penso sia un errore grossolano considerarla $ t^(2log(t))$ ??

grazie dei chiarimenti [/quote]

Vedila così:

$ e^(2x) = (e^x)^2 = t^2 $

[Danying]

"pater46":[quote="mat100"][quote="Gi8"]Se $t=e^x$ allora $x=ln(t) rArr dx=(1/t)dt$

sostituendo $int (t+1)/(t^2+1)*1/t dt= int1/(t+1) dt= log |1+t|+c $ ; e poi la sostituzione alla t ..;

cmq .faccio confusione nella sostituzione $e^(2x)$ ...penso sia un errore grossolano considerarla $ t^(2log(t))$ ??

grazie dei chiarimenti [/quote]

Vedila così:

$ e^(2x) = (e^x)^2 = t^2 $[/quote]

bene,,, come ho scritto precedentemente , si può dire concluso....

purtroppo non ho il risultato, ma dovrebbe essere questo ...!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Mathcrazy]

No non è quello il risultato.

"mat100":
$int (t+1)/(t^2+1)*1/t dt= int1/(t+1) dt

???
Te sei magnato un paio di pezzi.

[Danying]

"Mathcrazy":No non è quello il risultato.

[quote="mat100"]
$int (t+1)/(t^2+1)*1/t dt= int1/(t+1) dt

???
Te sei magnato un paio di pezzi.[/quote]


Math cosa ho tralasciato ???

[pater46]

"Mathcrazy":
Te sei magnato un paio di pezzi.

Effettivamente... mat100 come hai fatto quel passaggio? potresti mettere i passaggi?

EDIT: Ci ho lavorato un pò. Il tuo integrale ora è nella forma:

$ int (t+1)/(t (t^2+1) ) = int [1/t - (t-1)/(t^2+1) ] dt = ln t - [ 1/2 int 2t/(t^2+1)dt + int 1/(t^2+1)dt ] = ln t - 1/2 ln( t^2+1 ) - arctan t $

Dovrebbe essere corretto.

PS: Integranmdo con derive ho ottenuto lo stesso risultato, quindi è giusto

[Danying]

"pater46":[quote="Mathcrazy"]
Te sei magnato un paio di pezzi.

Effettivamente... mat100 come hai fatto quel passaggio? potresti mettere i passaggi?

EDIT: Ci ho lavorato un pò. Il tuo integrale ora è nella forma:

$ int (t+1)/(t (t^2+1) ) = int [1/t - (t-1)/(t^2+1) ] dt = ln t - [ 1/2 int 2t/(t^2+1)dt + int 1/(t^2+1)dt ] = ln t - 1/2 ln( t^2+1 ) - arctan t $

Dovrebbe essere corretto.

PS: Integranmdo con derive ho ottenuto lo stesso risultato, quindi è giusto [/quote]

praticamente ho effettuato una semplificazione che in altri esercizi mi ha portato nella retta via.... semplificando la $t$ al numeratore con $1/t$ ;
cmq un passo alla volta...

$ int (t+1)/(t (t^2+1) ) = int [1/t - (t-1)/(t^2+1) ] dt$ ... mi giustifichi questo passaggio... come mai metti il segno "$-$" quando di solito si moltiplica in questi casi ??


thankx.

[pater46]

Praticamente lo devi ridurre in fratti semplici. Dato che hai il denominatore già fattorizzato in fattori irriducibili $t \cdot (t^2+1)$, puoi direttamente applicare la formuletta:

$(t+1)/(t\cdot(t^2+1)) = A/t + (Bt+C)/(t^2+1)$

Ricordando che il polinomio al numeratore deve essere di un grado inferiore a quello del denominatore ( ecco il perchè del $Bt+C$ ). Se fai i calcoli ed applichi il principio di identità dei polinomi, ti verranno fuori A=1 B=-1 C=1, sostituendo ottieni quei due fratti.

[Danying]

"pater46":Praticamente lo devi ridurre in fratti semplici. Dato che hai il denominatore già fattorizzato in fattori irriducibili $t \cdot (t^2+1)$, puoi direttamente applicare la formuletta:

$(t+1)/(t\cdot(t^2+1)) = A/t + (Bt+C)/(t^2+1)$

Ricordando che il polinomio al numeratore deve essere di un grado inferiore a quello del denominatore ( ecco il perchè del $Bt+C$ ). Se fai i calcoli ed applichi il principio di identità dei polinomi, ti verranno fuori A=1 B=-1 C=1, sostituendo ottieni quei due fratti.

ahh,,, capitoo!!!

poi semplicemente formiamo la forma $(f^{\prime}(x))/f(x)$ moltiplicando e dividendo per 2, in modo da tale da formare la derivata di $t^2$ al num...e decomponiamo il numeratore,,!!


... quanto mi ci vi vorrà per entrar nel meccanismo...