Integrale esponenziale

[Mr.Mazzarr]

Devo risolvere questo integrale con la x esponenziale, ma mi sono bloccato:

$\int_1^2 e^x/(e^(2x)+e^x+1)$

Ho applicato la sostituzione $e^x = t$ con $dx = 1/t dt$:

$\int_1^2 1/(t^2+t+1)$

Ma sinceramente qui mi sono bloccato. Ho provato con l'integrazione per parti, ma niente. La decomposizione in fratti semplici non so come si fa quando il delta è minore di zero.

Come posso continuare? Wolfram Alpha suggerisce altre 3 sostituzioni.

[Noisemaker]

imparando la decomposizione in fratti semplici quando il delta è minore di zero!

[Mr.Mazzarr]

Ehm, sì ma bisogna anche capirle le cose

Sto leggendo da questo link, ma non è che abbia tanto capito come muovermi..

[Noisemaker]

a parte che forse potresti completare i quadrati in quel caso; cmq in quelle pagine è spiegato tutto

[Mr.Mazzarr]

Cosa intendi per completare i quadrati?

Comunque dimmi se svolgo bene.
Quando incontro un integrale del genere '' accetto '' di lavorare anche nel campo dei numeri complessi, e il valore della x diventa:

$x = -1/2 +i(sqrt(3)/2)$

Ora, come gestisco questo valore della x?

[21zuclo]

$t^2+t+1=0$ qui $\Delta <0$

allora bisogna fare uso del completamento del quadrato dato da questa formula
$ax^2+bx+c=a[x^2+b/ax+((b)/(2a))^2-((b)/(2a))^2]+c=a(x+(b)/(2a))^2+(c-(b)/(4a))^2$

una volta fatto questo, raccogliendo il termine $(c-(b)/(4a))^2$ e lo porti fuori dall'integrale

e alla fine ti ritrovi con quest'integrale, memorizza la formula $\int (dx)/(1+((ax+b)/(c))^2)=c/a \arctan((ax+b)/(c))+K$

prova

[Mr.Mazzarr]

Perfetto, avevo proprio bisogno di questa formula. Mentre quando ho il delta $= 0$ ?

[Brancaleone1]

Nei casi più semplici di discriminante nullo una buona sostituzione dovrebbe risolvere il problema.

[Mr.Mazzarr]

Mmm.. Sì, ma esiste una formula simile a quella postata precedente?

[Mr.Mazzarr]

Integrale simile, non mi trovo con Wolfram Alpha ( in assenza di risultati, lo uso come tale

$int (3e^(2x) + e^x)/(e^(2x)-5e^x+6) dx$

$e^x = t$ -> $dx =1/t dt$

$int (3t-1)/(t^2-5t+6) dt$

Applico il metodo di decomposizione in fratti:

$(3t-1)/(t^2-5t+6) =$ $A/(t-3) + B/(t-2)$

Lo svolgo, e mi trovo la somma di questi due integrali:

$10*int 1/(t-3) dt$ $+$ $(-7)*int 1/(t-2) dt$

Risolvo e sostituisco, e viene: $10*log(e^x-3) - 7*log(e^x-2) + C.$

Potreste dirmi dov'è l'errore?

[Camillo]

Il numeratore è $3t+1$.

[Mr.Mazzarr]

Caspita, mi so' perso un segno per strada... Il resto è tutto ok?

[Mr.Mazzarr]

Ho svolto l'integrale d'inizio topic dopo aver studiato il caso del differenziale minore di 0, ditemi se è errato qualcosa. Lo scrivo come integrale indefinito, importante è il procedimento centrale che poi la sostituzione vien da se:

$int e^x/(e^(2x)+e^x+1) dx$

$e^x = t$ -> $dx = 1/t dt$

$int 1/(t^2+t+1) dt$

$t_1,2 = (-1 pm isqrt(3))/2 = -1/2 pm isqrt(3)/2$

Decompisizione in fratti semplici:

$1/(t^2+t+1) = (Ax+B)/[(t + 1/2 - isqrt(3)/2)(t + 1/2 - isqrt(3)/2)]$ $=$ $1/[(t+1/2)^2 + 3/4]$

$int 1/[(t+1/2)^2 + 3/4]$ $= 4/3 * arctg[((t + 1/2)*4)/3]$

[21zuclo]

"Mr.Mazzarr":
$int 1/(t^2+t+1) dt$

$t_1,2 = (-1 pm isqrt(3))/2 = -1/2 pm isqrt(3)/2$

Decompisizione in fratti semplici:

$1/(t^2+t+1) = (Ax+B)/[(t + 1/2 - isqrt(3)/2)(t + 1/2 - isqrt(3)/2)]$ $=$ $1/[(t+1/2)^2 + 3/4]$

$int 1/[(t+1/2)^2 + 3/4]$ $= 4/3 * arctg[((t + 1/2)*4)/3]$

scusa sei nel campo reale.. non puoi mettere le radici complesse nella decomposizione in fratti semplici (o almeno se si può fare io non l'ho mai visto su nessun eserciziario di analisi e nemmeno a lezione).. Quando hai un'equazione di secondo grado e vedi che è $\Delta<0$ ..devi usare la formula che ti ho scritto del complemento del quadrato!

o almeno che non hai una cosa del genere tipo $(1)/(x(x+2)(x^2-2x+4))$

questo in fratti semplici è uguale a $(1)/(x(x+2)(x^2-2x+4))=(A)/(x)+(B)/((x+2))+(Cx+D)/(x^2-2x+4)$

[Mr.Mazzarr]

E perchè poi in questo caso non applico la formula che mi hai scritto tu prima?