Integrale esame metodi
salve ragazzi, sono Luigi e avrei bisogno di un aiuto su questo integrale preso da un appello del corso di metodi matematici per l'ingegneria:
int |z|=2 [e^(-1/z)]/(1-z)
[[ integrale nella circ di raggio 2 di e elevato alla -1/z diviso 1-z in dz ]]
suggerimento : Si utilizzi la formula del prodotto di due serie di Laurent
Risposta : -1
qualcuno mi sa indicare dove trovare qualche fonte per questa benedetta formula?
grazie a tutti
Cordialmente
Luigi
int |z|=2 [e^(-1/z)]/(1-z)
[[ integrale nella circ di raggio 2 di e elevato alla -1/z diviso 1-z in dz ]]
suggerimento : Si utilizzi la formula del prodotto di due serie di Laurent
Risposta : -1
qualcuno mi sa indicare dove trovare qualche fonte per questa benedetta formula?
grazie a tutti
Cordialmente
Luigi
Risposte
"IvanTerr":
Dai un'occhiata (seza farti male...) all'indirizzo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_complesse
grazie , ma la "famosa" formula nn c'è!
Vuoi calcolare:
$\int_(|z|=2) (e^(-1/z))/(1-z)" d"zquad$.
Innanzitutto nota che nel cerchio delimitato dalla circonferenza $Gamma:quad |z|=2$ cadono due potenziali singolarità dell'integrando, ossia $z_0=0, z_1=1$, per cui bisogna vedere come si comporta la frazione $(e^(-1/z))/(1-z)$ intorno a tali punti:
1) in $z_1=1$ il numeratore è continuo, mentre il denominatore ha uno zero d'ordine uno: pertanto $z_1$ è un polo d'ordine uno per l'integrando;
2) in $z_0=0$ il denominatore è continuo, mentre per il numeratore hai $e^(-1/z)=\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/(n!*z^n)$: ne consegue che $z_0=0$ è una singolarità essenziale per l'integrando.
Dalla Teoria dei Residui sai che:
$\int_(|z|=2) (e^(-1/z))/(1-z)" d"z=2pi*i*["Res"(0)+"Res"(1)]$
quindi per calcolare l'integrale devi determinare i due residui $"Res"(0), "Res"(1)$ della funzione $(e^(-1/z))/(1-z)$.
Visto che $z_1=1$ è un polo del primo ordine si ha:
$"Res"(1)=lim_(zto 1)(z-1)*(e^(-1/z))/(1-z)=-lim_(zto 1)e^(-1/z)=-1/e quad$;
d'altra parte, intorno a $z_0=0$, sussistono i due sviluppi in serie di potenze:
$e^(-1/z)=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/(n!*z^n) quad$ e $quad 1/(1-z)=\sum_(n=0)^(+oo)z^n$
di cui il primo converge uniformemente fuori da ogni cerchio centrato in $z_0=0$ ed il secondo converge uniformemente nel cerchio di centro $z_0$ e raggio unitario: restringendoti al cerchio forato di centro $z_0$ e raggio unitario, puoi trovare lo sviluppo in serie di Laurent dell'integrando semplicemente effettuando il prodotto secondo Cauchy dei due sviluppi determinati in precedenza:
(*) $quad (e^(-1/z))/(1-z)={\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/(n!*z^n)} \times {\sum_(n=0)^(+oo)z^n}$
ed ovviamente il $"Res"(0)$ sarà uguale al coefficiente della potenza $1/z$ dello sviluppo appena trovato. Scrivendo per esteso alcuni termini delle due serie al terzo membro della (*) troviamo:
${1-1/z+1/(2!)1/z^2-1/(3!)1/z^3+\ldots +(-1)^n/(n!)1/z^n+\ldots } \times {1+z+z^2+z^3+\ldots +z^n+\ldots }$
onde la potenza $1/z$ si ottiene moltiplicando i termini $1/z^n$ e $z^(n-1)$, con $nge 1$, del primo e del secondo fattore: il coefficiente del termine $1/z$ nello sviluppo dell'integrando in serie di Laurent intorno a $0$ è dato da:
$\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n/(n!)=-1+\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/(n!)=-1+1/e$
e quindi $"Res"(0)=-1+1/e$.
Ne viene:
$\int_(|z|=2) (e^(-1/z))/(1-z)" d"z=2pi*i*["Res"(0)+"Res"(1)]=2pi*i*[-1/e-1+1/e]=-2pi*i$.
Il tutto salvo marchiani errori di valutazione o di calcolo.
Buono studio.
$\int_(|z|=2) (e^(-1/z))/(1-z)" d"zquad$.
Innanzitutto nota che nel cerchio delimitato dalla circonferenza $Gamma:quad |z|=2$ cadono due potenziali singolarità dell'integrando, ossia $z_0=0, z_1=1$, per cui bisogna vedere come si comporta la frazione $(e^(-1/z))/(1-z)$ intorno a tali punti:
1) in $z_1=1$ il numeratore è continuo, mentre il denominatore ha uno zero d'ordine uno: pertanto $z_1$ è un polo d'ordine uno per l'integrando;
2) in $z_0=0$ il denominatore è continuo, mentre per il numeratore hai $e^(-1/z)=\sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/(n!*z^n)$: ne consegue che $z_0=0$ è una singolarità essenziale per l'integrando.
Dalla Teoria dei Residui sai che:
$\int_(|z|=2) (e^(-1/z))/(1-z)" d"z=2pi*i*["Res"(0)+"Res"(1)]$
quindi per calcolare l'integrale devi determinare i due residui $"Res"(0), "Res"(1)$ della funzione $(e^(-1/z))/(1-z)$.
Visto che $z_1=1$ è un polo del primo ordine si ha:
$"Res"(1)=lim_(zto 1)(z-1)*(e^(-1/z))/(1-z)=-lim_(zto 1)e^(-1/z)=-1/e quad$;
d'altra parte, intorno a $z_0=0$, sussistono i due sviluppi in serie di potenze:
$e^(-1/z)=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/(n!*z^n) quad$ e $quad 1/(1-z)=\sum_(n=0)^(+oo)z^n$
di cui il primo converge uniformemente fuori da ogni cerchio centrato in $z_0=0$ ed il secondo converge uniformemente nel cerchio di centro $z_0$ e raggio unitario: restringendoti al cerchio forato di centro $z_0$ e raggio unitario, puoi trovare lo sviluppo in serie di Laurent dell'integrando semplicemente effettuando il prodotto secondo Cauchy dei due sviluppi determinati in precedenza:
(*) $quad (e^(-1/z))/(1-z)={\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/(n!*z^n)} \times {\sum_(n=0)^(+oo)z^n}$
ed ovviamente il $"Res"(0)$ sarà uguale al coefficiente della potenza $1/z$ dello sviluppo appena trovato. Scrivendo per esteso alcuni termini delle due serie al terzo membro della (*) troviamo:
${1-1/z+1/(2!)1/z^2-1/(3!)1/z^3+\ldots +(-1)^n/(n!)1/z^n+\ldots } \times {1+z+z^2+z^3+\ldots +z^n+\ldots }$
onde la potenza $1/z$ si ottiene moltiplicando i termini $1/z^n$ e $z^(n-1)$, con $nge 1$, del primo e del secondo fattore: il coefficiente del termine $1/z$ nello sviluppo dell'integrando in serie di Laurent intorno a $0$ è dato da:
$\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n/(n!)=-1+\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/(n!)=-1+1/e$
e quindi $"Res"(0)=-1+1/e$.
Ne viene:
$\int_(|z|=2) (e^(-1/z))/(1-z)" d"z=2pi*i*["Res"(0)+"Res"(1)]=2pi*i*[-1/e-1+1/e]=-2pi*i$.
Il tutto salvo marchiani errori di valutazione o di calcolo.
Buono studio.
grazie mille Gugo sei stato di grandissimo aiuto !!!!
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